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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标w#ww.zzste%图1 动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，ABC与AOM相似请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，A
2、BC与AOM相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。来源:#*中教网思路点拨来源&%:1第（2）题把求AOM的大小，转化为求BOM的大小2因为BOMABO30，因此点C在点B的右侧时，恰好有ABCAOMwww.*zzstep.c#om3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOM相似满分解答（1）如图2，过点A作AHy轴，垂足为H来源:中教&#网在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH所以A因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A，可得 图2所以抛物线的表达式为（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为所以所以BOM30所以AOM150（3）由
3、A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150ABC与AOM相似，存在两种情况：如图3，当时，此时C(4,0)来*源%:z#zstep&.com如图4，当时，此时C(8,0) 图3 图4考点伸展在本题情境下，如果ABC与BOM相似，求点C的坐标如图5，因为BOM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角为30的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点C的坐标为(4,0)来%源:中教#&网图5来源:中国教%育出版#网中#国教育出版网&%例2 2012年苏州市中考第29题ww*w.zz#st%来源:GKSTK.Com如图1，已知抛物线（b是实数且b2）
4、与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；来源#:中%教&网（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由来#源:中%国教*育出版网图1动感体验来源:学优GKSTK请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B
5、在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在OQAB的时刻，也存在OQAB的时刻www.zzste%#思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么P
6、DBPECwww.z#z%&step*.com因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b来源:*中&%教网解得所以点P的坐标为()图2 图3来&*源:中教网（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()来源:%中&教*网如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90来&源:中国%教育出版网所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5中国%*教育出版网考点伸展第（3）
7、题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置来&%源:#中教网如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾中&国教育*%出#版网www.zzst#%来%&源#:中教网www.#*来%源:中教网#*来源:中国教%*育出#版网中#国教育出版网&%例3 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1： (m0)与x轴交于点B、C，与
8、y轴交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；www.#&zzstep*.com（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BHEH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由www.&%图1动感体验中国%*教育出版网请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是BFC在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，CBF保持45，存在B
9、FCBCE的时刻思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BHEH最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程满分解答（1）将M(2, 2)代入，得解得m4（2）当m4时，所以C(4, 0)，E(0, 2)中国#教育出版网&%所以SBCE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H落在线段EC上时，BHEH最小设对称轴与x轴的交点为P，那么因此解得所以点H的坐标为（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以
10、当，即时，BCEFBC设点F的坐标为，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程无解来源&:中教%网图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以，即时，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得综合、，符合题意的m为考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长www%.zzstep&.c#omww%w.zzste*&www.zz#%&来%源:中教#网&例4 2010年义乌市中考第24题中国%教#&育出版*网来源:中&国教育出
11、版%*网如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）来源:#中国%教育出版网（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示x2x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同
12、的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF与GQE相似来源:zzstep.%com&思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，
