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1、第十章第十章 第四节第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类曲面积分第一类曲面积分 二、第一类曲面积分的 概念与性质 一、问题的提出 三、第一类曲面积分的 计算 二、第一类曲面积分的 概念与性质 一、问题的提出 三、第一类曲面积分的 计算 o x y z 例：例：设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度),(zyx 类似求平面薄板质量的思想, 采用类似求平面薄板质量的思想, 采用 kkkk S ),( 可得可得 = = n k 1 0 lim = =M ),( kkk “分割，近似, 求和, 取极限”“分割，近似, 求和, 取极限” 的方
2、法,的方法, 求质量 求质量 M. 其中, 表示 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出一、问题的提出 二、第一类曲面积分的概念二、第一类曲面积分的概念 定义：定义： 设曲面设曲面 是光滑的, 函数是光滑的, 函数),(zyxf在 在 上有定 义， 把 上有定 义， 把 分成 分成 n小块 小块 i S （ i S 同时也表示第 同时也表示第 i小块曲 面的面积） ，在 小块曲 面的面积）
3、 ，在 i S 上任意取定一点上任意取定一点),( iii ，做和 ，做和 = = n i iiii Sf 1 ),(， 令， 令max 1 的直径的直径 i ni S = = ， 若不论， 若不论 i S 怎 样分及点 怎 样分及点),( iii 怎样取， 这和式的极限都存在, 则称此 极限值为函数 怎样取， 这和式的极限都存在, 则称此 极限值为函数),(zyxf在曲面 在曲面 上对面积的上对面积的曲面积分曲面积分或或 第一类曲面积分.第一类曲面积分. 记为 记为 dSzyxf),(，即，即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dSzyxf),( iii
4、n i i Sf= = = ),(lim 1 0 ，叫做被积函数其中，叫做被积函数其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 .叫面积元素叫面积元素dS 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明： （1）曲面 （1）曲面 的质量：的质量：dSzyxm),( = = （2）若 （2）若 1),( zyxf，则 ，则 = = dS的面积。的面积。 （3）若（3）若 是封闭曲面，则积分号记为 是封闭曲面，则积分号记为 。 。 则对面积的曲面积分存在. 在光滑曲面 上连续, 则对面积的曲面积分存在. 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似
5、.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 积分的存在性. ),(zyxf若若 Szyxgkzyxfkd),(),( 21 线性性质. 线性性质.则为常数设则为常数设, 21 kk =SzyxgkSzyxfkd),(d),( 21 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 对积分域的可加性. 对积分域的可加性. , 21 则有则有 = = Szyxfd),( 1 d),(Szyxf + + 2 d),(Szyxf 若 是分片光滑的,例如分成 两片光滑曲面 若 是分片光滑的,例如分成 两片光滑曲面 若函数若函数),(zyxf在曲面在曲面 上连续，则
6、在上连续，则在 上 至 少 存 在 一 点 上 至 少 存 在 一 点 ),( 000 zyx， 使， 使 得得 SzyxfdSzyxf),(),( 000 = = ，其中，其中S表示表示 的面积。 的面积。 若在曲面 若在曲面 上，上，),(),(zyxgzyxf ， 则 ， 则 dSzyxgdSzyxf),(),( 特别地， 特别地， dSzyxfdSzyxf| ),(|),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理. 保号性. 中值定理. 保号性. 关于曲面的轮换对称性：关于曲面的轮换对称性： 曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线曲面具有轮换对称性
7、是指：曲面关于直线 x = y = z 对称。 如果曲面 有轮换对称性，它的方程 对称。 如果曲面 有轮换对称性，它的方程 F (x ,y ,z)=0 有如下特征：将有如下特征：将 F (x ,y ,z) 中的变量中的变量 x ,y ,z 的位置任 意互换，不会改变 的位置任 意互换，不会改变 F 的表达式。的表达式。 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 与第一类曲线积分类似，第一类曲面积 分也具有奇偶对称性及轮换对称性。 与第一类曲线积分类似，第一类曲面积 分也具有奇偶对称性及轮换对称性。 对称性. 对称性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上
8、页 下页 返回 结束 1、1、如果 曲面 有轮换对称性，那么被积函数如果 曲面 有轮换对称性，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值 不会改变。即 无论怎样互换，积分值 不会改变。即 2、2、如果曲面 关于平面 如果曲面 关于平面 y= x 对称，则对称，则 dSyxzfdSzyxf = =),(),( dSyzxfdSxzyf =),(),(LL= = dSzxyfdSzyxf = =),(),( 曲面 关于平面 曲面 关于平面 y= z 或 或 z=x 对称有类似的性质 。对称有类似的性质 。 o x y z 定理: 定理: 设有光
9、滑曲面设有光滑曲面 yx Dyxyxzz = = ),(),(: f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 在 上连续, 存在, 且有 Szyxfd),( = = yx D yxf),( Szyxfd),( ),(yxzyxyxzyxz yx dd),(),(1 22 + 三、对面积的曲面积分的计算法三、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分则曲面积分 证明:证明: yx D ),( kkk yxk )( 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 = = Szyxfd),( kkkk Sf ),( = = n k1 0 lim 把 把 分成 分成 n 个小区
10、面 个小区面 i S ， 设 ， 设 i S 在 在 xoy 平面 上的投影为 平面 上的投影为 xyk )( ， = = k Syxyxzyxz yxk yx dd),(),(1 )( 22 + yxkkkykkx zz)( ),(),(1 22 +=+= 0 lim = = = n k 1 yxkkkykkx zz)( ),(),(1 22 + yxyxzyxzyxf yx D yx dd),(),(1),( 22 +=+= ),(yxz ),(,( kkkk zf (光滑)(光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 = = Szyxfd),( kkkk
11、 Sf ),( = = n k 1 0 lim ;1),(, 22 dxdyzzyxzyxf xy D yx +=+= dSzyxf),( ),(:. 1yxzz = =若曲面 若曲面 则则 按照曲面的不同情况分为以下四种情形：按照曲面的不同情况分为以下四种情形： 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;1),(, 22 dxdzyyzzxyxf xz D zx +=+= dSzyxf),(则则 ),(. 2zxyy = = ：若曲面：若曲面 .1,),( 22 dydzxxzyzyxf yz D zy +=+= dSzyxf),( ),(. 3zyxx = =
12、 ：若曲面：若曲面 则则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 若曲面 4 若曲面 的方程为：的方程为：),(vuxx =，),(vuyy =， ),(vuzz =，=，Dvu),(，则，则 dSzyxf ),( = = D vuzvuyvuxf),(),(),( dudv vu yx vu xz vu zy 222 ),( ),( ),( ),( ),( ),( + + + + 计算 计算 +dszyx)(, 其中 , 其中 为平面 为平面 5= =+ + zy 被柱面被柱面25 22 = =+ + yx所截得的部分. 所截得的部分. 例1例1 解解 dx
13、dyzzdS yx 22 1+=+= dxdy 2 )1(01+=+=,2dxdy= = 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分曲面积分曲面 ：yz= 5 , 25| ),( 22 + += =yxyxDxy投影投影 +dszyx)(故故 +=+= xy D dxdyx)5(2 dd +=+= 5 0 2 0 )5cos(2.2125 = = 例 2例 2 计算 计算 dSxyz |，其中，其中 为 为 22 yxz+ += =（10 z） ） 解解 被积函数 被积函数 | xyz 关于 关于yx,都是偶函数， 都是偶函数， 面对称，面和关于抛物面面对称，面和关于抛物面yozxozyxz 22 + += = ( ( 1 为第一卦限部分曲面) 为第一卦限部分曲面) 机动 目录 上页 下页
