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1、人教版高中数学必修一各章节知识点与重难点第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1集合的含义与表示【知识要点】1、集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性(1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性2、“属于”的概念我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, 表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, 表示元素如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA,如果a不属于集合A 记作 aA3、常用数集及其记法非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或 N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R4
2、、集合的表示法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。(2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。语言描述法:例:不是直角三角形的三角形数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-32(3)图示法(Venn图)1.1.2 集合间的基本关系【知识要点】1、“包含”关系子集一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB2、“相等”关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,
3、即:A=B3、真子集如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)4、空集不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.1.1.3 集合的基本运算【知识要点】1、交集的定义一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作“A交B”),即AB=x| xA,且xB2、并集的定义一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:AB(读作“A并B”),即AB=x | xA,或xB3、交集与并集的性质AA = A,A= , AB = BA,AA = A,A= A , AB = B
4、A.4、全集与补集(1)全集如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(2)补集设U是一个集合,A是U的一个子集(即AU),由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)。记作: CUA ,即 CSA =x | xU且 xA(3)性质CU(C UA)=A,(C UA)A=,(C UA)A=U;(C UA)(C UB)=C U(AB),(C UA)(C UB)=C U(AB).1.2 函数及其表示1.2.1函数的概念【知识要点】1、函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集
5、合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域【注意】(1)如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;(2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.(5)如
6、果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.)2、构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【注意】(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。3、相同函数的判断方法(1)定义域一致;(2)表达式相同 (两点必
7、须同时具备)【值域补充】(1)函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。4、区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示1.2.2函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点(1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。(2)函数的表示法解析法:必须注明函数的定义域;图象法:描点法作图要注意:确定
8、函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征【注意】解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值2、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集3、复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA)
9、,则 y=fg(x)=F(x),(xA) 称为f是g的复合函数.4、函数图象知识归纳(1)定义在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法根据函数解析式和定义
10、域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换()对称变换将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如:书上P21例5 y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如()平移变换由f(x)得到f(xa) 左加右减;由f(x)得到f(x)a 上加下减(3)作用A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。5、映射定义:一般
11、地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”给定一个集合A到B的映射,如果aA,bB.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象【说明】函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应(1)集合A、B及对应法则f是确定的;(2)对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;(3)对于映射f:AB来说,则应满足:()集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(
12、)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;()不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的解析式(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数fg(x)的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)【重点】函数的三种表示法,分段函数的概念,映射的概念【难点】根据不同的需要
13、选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象,映射的概念1.3函数的基本性质1.3.1函数单调性与最大(小)值【知识要点】1、函数的单调性定义设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间;如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.【注意】(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;(2)必须是
14、对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2))。2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法任取x1,x2D,且x1 0(C为常数)时,与的单调性相同;当C 0(C为常数)时,与的单调性相反;函数、都是增(减)函数,则仍是增(减)函数;若且与都是增(减)函数,则也是增(减)函数;若且与都是增(减)函数,则也是减(增)函数;设,若在定义域上是增函数,