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1、 2 直角坐标系下 二重积分的计算 复习：曲顶柱体的体积 求以曲面 为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积 。 )0),(),( yxfyxfz,;, dcbayxzOabc d),( yxfz i),( ii iiii fV ),(yxzOabc d),( yxfz 取极限求和近似代替分割分割 近似代替 求和 取极限niiiinii fVV11),( niiiid fV10),(lim 求曲顶柱体体积步骤如下： 分割 ： 将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块 ,;, dcban , 21 其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割 成 n 个小曲顶柱体，分别记为 n , 21 nVVV , 21 近
2、似代替： 在每一小块上任意取一点 则小曲 顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即 ),( iiiM iViiii fV ),( 求和 ： 把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值 niiiinii fVV11),( 取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体 的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分， 故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值： ,;,10),(),(limdcbaniiiid dx dyyxffV 取极限 ： 记 在和式中令 ,m a x1 的直径inid 0d 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种
3、方法来计算。 先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立 体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为 ax bx x)(xs ba dxxsV )()(xsa bx化二重积分为二次积分 yxzOabc d)(xS作与 轴垂直的平 面，设截得曲顶柱 体截面的面积为 )(xSx立体位于平面 与平面 之间， axbx则曲顶柱体体积为 ba dxxsV )( x而 就是平面 上， 由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以 )(xS xX ),( yxfz 0, zdycy dc dyyxfxS ),()(从而 dcbaba dcba dyyxfdxdx
4、dyyxfdxxsV ),(),()(因此 dcbadcbadyyxfdxdx dyyxf ),(),(,;, badcdcbadxyxfdydx dyyxf ),(),(,;,类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得 y从上面的分析，可以得到下列结果： badcdcbadcbadxyxfdydyyxfdxdx d yyxf ),(),(),(,;, dcbadcbadyyxfdxdx dyyxf ),(),(,;,定理 21.8 设 在矩形 上可积， 含参变量积分 存在，则 ,;, dcba),( yxf , bax dc dyyxfxF ),()( badcdcbadxyxf
5、dydx dyyxf ),(),(,;,设 在矩形 上可积， 含参变量积分 存在，则 ,;, dcba),( yxf , dcy ba dxyxfyJ ),()(类似地可以给出先对 后对 积分的结果： yx设 在矩形 上连续，则 dcbabadcdcbadyyxfdxdxyxfdydx d yyxf ),(),(),(,;,;, dcba),( yxf我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果： 定理 21.9 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。 根据积分区域的特点，分三种情况讨论。 ),()(|),( 21 bxaxyyxyyxD yx)(2 x
6、yy )(1 xyy a b这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。 x这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。 y x第一种情形： 积分区域 D 由两条曲线 及两条直线 围成，即 )(),( 21 xyyxyy bxax , )( )(21 ),(),( xy xybaDdyyxfdxd x d yyxf作包含此积分区域的矩形 ,;, dcba令 DyxDyxyxfyxF),(,0),(),(),(于是 )()(,;,21),(),(),(),(xyxybadcbadcbaDdyyxfdxdyyxFdxd x d yyxFd x
7、 d yyxfyx)(2 xyy )(1 xyy a bcdx),()(|),( 21 dycyxxyxyxD 第二种情形： 积分区域 D 由曲线 及直线 围成，即 )(),( 21 yxxyxx dycy , )( )(21 ),(),( yx yxdcDdxyxfdyd x d yyxf这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。 yx)(1 yxx )(2 yxx ydcxo这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。 y第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。 yx1D2D3D4D
8、 X型区域的特点 ： 穿过区域且平行于 y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . Y型区域的特点 ： 穿过区域且平行于 x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . 若区域如图， 3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式 .321 DDDD则必须分割 . xy 1例 1 改变积分 xdyyxfdx1010),( 的次序 .原式 ydxyxfdy1010),( .解 积分区域如图 xy 222 xxy 例 2 改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序 .原式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy .解 积分区域如图 例 3 改变积分 )0
9、(),(2022 2 adyyxfdxa axxax的次序 .axy 2解 = a yaaaydxyxfdy02222 ),(原式 a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),( .),(2 22 2 aa aay dxyxfdy22 xaxy 22 yaax a2aa2a例 4 求 Ddx dyyx )( 2 ，其中 D 是由抛物线2xy 和 2yx 所围平面闭区域 .解 两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy Dd x d yyx )( 2 10 22 )(xx dyyxdxdxxxxxx )(21)( 4210 2 .140332xy2yx例 5 求 Dy dxdyex 2
10、2 ，其中 D 是以 ),1,1(),0,0()1,0( 为顶点的三角形 . dye y 2 无法用初等函数表示解 积分时必须考虑次序 Dy dxdyex 22 y y dxexdy02102dyye y 10332 210262 dyye y ).21(61e例 6 计算积分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解 dxe xy 不能用初等函数表示 先改变积分次序 .原式 xxxydyedxI2211 121 )( dxeexx .2183 ee 2xyxy例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ， xyz ， 1 yx ， 0x ， 0y .解 曲面围成的立体如
11、图 . zyxo,10 yx ,xyyx 所求体积 DdxyyxV )( 10 10 )(x dyxyyxdx 10 3 )1(21)1( dxxxx .247所围立体在 x o y 面上的投影是例 8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V. 解 设这两个直交圆柱面的方程为： 222 ayx 222 azx 由图形的对称性 D dxa 22 a xa dyxadx0 02222 a dxxa0223316aV =8 =8 =8 = 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择 积分次序 ） 小结 .),(),( )()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),( )()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型 X型 设 )( xf 在 1,0 上连续，并设 Adxxf 10)( ，求 110)()(xdyyfxfdx .思考题 1 )(x dyyf 不能直接积出 , 改变积分次序 .令 110)()(xdyyfxfdxI ,思考题解答 则原式 ydxyfxfdy010)()( .,)()( 010 x dyyfdxxf故 110)()(2xdyyfdxxfI x dyyfdxxf010 )()()()()( 1010 dyyfdxxf xx .)()( 21010 Adyyfdxxf
