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1、 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 1 页 目录 练习题部分 第一部分 极限与连续 2 第二部分 导数与微分 8 第三部分 导数与微分的应用13 第四部分 不定积分17 第五部分 定积分21 第六部分 微分方程25 附录：练习题答案 第一部分 极限与连续27 第二部分 导数与微分38 第三部分 导数与微分的应用47 第四部分 不定积分57 第五部分 定积分70 第六部分 微分方程80 致谢 86 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 2 页 第一部分
2、极限与连续 一、求极限一、求极限 1、 32 3 342 lim 753 x xx xx 2、 2 2 1 21 lim 1 x xx x 3、 222 12 lim n n nnn 4、 3 1 13 lim 11 x xx 5、 1 0 lim x x e 6、 2sin3 lim sin2 x xx xx 7、 42 lim12 n nnnn 8、 0 1 sin x lim x x 9、 2 13 lim sin x xx xx 10、 arctan lim x x x 11、 2 lim1 x xxx 12、 2 lim() n nnn 数列极限的值为 1 01 2 ABCD； ；
3、； 不存在 13、下列极限计算正确的是 A；1 1 lim 2 2 n n n x x ； B 1 sin sin lim xx xx x ； C 0 sintan lim 3 0 x xx x ； C 2 2 1 1lime n n n 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 3 页 14、下列极限中存在的是 2 1 00 1111 limlimlim sinlim 21 1 x xxxx x x ABCxD xx e ； ； ； 15、 1 1 lim 3 1 x x x 二、求极限二、求极限 1、 sin23 limsi
4、n x x x xx 2、 1 sin x lim x x 3、 2 0 1 cos lim x x x 4、 0 limcot x xx 5、 0 1 cos2 lim sin x x xx 6、 0 sin2 lim sin3 x x x 7、lim 2 sin 2 n n n x 8、 2 1 lim x x x x 9、 1 lim 1 x x x 10、 3 0 lim(12 )x x x 11、 x x x 2 cot 2 0 tan1lim 12、 1 23 lim 21 x x x x 13、 0 111 lim() sintan x xxx 14、 sin lim x x x
5、 极限( ) 101ABCD 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 4 页 三、求极限三、求极限 1、 0 tan2 lim sin5 x x x 2、 3 0 tansin lim sin x xx x 3、 0 sin lim sin n m x x x 4、 2 0 1 lim ln(12 ) x x e xx 5、设 2 0 ( ) ln 1 sin lim2 arctan x f x x x ，求 3 0 ( ) lim2 x f x x 6、 21 )21ln(sin lim 0 xe xx x x 7、 1 2
6、 3 0 (1)1 lim cos1 x x x 8、 3 20 ( 121) lim 11 x xx x 9、 x e x x 1 lim 3 0 10、 0 ln(sectan ) lim sin x xx x 11、 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 四、概念与定理相关四、概念与定理相关 1、0x 是函数 1 1 21 ( ) 21 x x f x 的 间断点 2、已知函数 2 ,0 ( ) 1 cos ,0 x kex f x xx ，当k 时，函数( )f x在0x 处连续 3、( )232 xx f x ，当0x 时 （ ） A( )f xx B( )f x是x的同
7、阶但非等价的无穷小 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 5 页 C( )f x是x的高阶无穷小 D( )f x是x的低阶无穷小 4、下列说法正确的是 A若( )f x在xa处连续，则( )f x在xa处连续 B若( )f x在xa处连续，则( )f x在xa处连续 C若( )f x在xa处连续，则( )f x在xa的某一领域内连续 D若 0 lim()()0 h f ahf ah ，则( )f x在xa处连续 5、存在的处有定义是极限在点)(lim)( 0 0 xfxxf xx ; ; AB CD 必要条件 充分条件 充分
8、必要条件 既非必要又非充分条件 6、是时，函数为常数），则当若AxfxxAAxf xx )()(lim 0 0 ; ; ; AB CD 无穷大量 无界，但非无穷大量 无穷小量 有界，而未必为无穷小量 7、设有两命题： 000 000 0 ( ) “ “lim( )0 lim( )()0 lim0 ( ) “ “lim( )lim( )lim( ( )( ) “ “ “ “ “ “ “ “ “ “ xxxxxx xxxxxx f x af xg xg x g x bf xg xf xg x A abB ab C ab 命题：若，存在，且 ，则； 命题：若存在，不存在。则必不存在。 则 ，都正确；
9、正确，不正确； 不正确，正确； “ “ “ “D ab，都不正确。 8、 2 02sin (1 cos )xxxx当时，与比较是（ ） AB CD 同阶但不等价无穷小；等价无穷小； 高阶无穷小；低阶无穷小 9、 00 0 00 lim( )lim( )( ) xxxx f xf xaf xxx ，是函数在处连续的（ ） AB CD 充分条件 必要条件 充分必要条件 既非充分又非必要条件 10、 2 2 1 1 2 32 x yx xx 函数的间断点为、，则此函数间断点的题型为（ ） 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 6
10、页 A x=1,2 都是第一类间断点； B x=1,2 都是第二类； C x=1 是第二类，x=2 是第一类； D x=1 是第一类，x=2 是第二类； 11、下列叙述不正确的是（ ） A B C D 无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； 无穷小量与有界量的积是无穷小量； 无穷大量与有界量的积是无穷大量； 无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。 12、 4 lim 32 xx xx x ee ee （ ） 1 21 3 ABCD 不存在 五、连续性五、连续性 1、设函数 sin , 0, ,0, 10, sin, x x x f xAx x xB x 问：,A B取何值时，函数 f x在整个实轴上连
11、续。 2、设 2 1 sin,0, ,0, xx f xx axx 。问如何选择常数a可使函数 f x在(,) 内连续。 3、设 2 2 2 arcsin21, 0, ln 12 ,0, ax xe x f xx ax 在0x 处连续，求常数a 4、求函数 xx x xf ) 1( 1 )( 2 的间断点，并判断其类型 5、求函数 2 1 sin 23 xx f x x xx 的间断点，并判定类型。 六、极限的反问题六、极限的反问题 1、设 2 1 lim5 1 x xbxa x ，则 a= , b= 2、已知lim9 x x xa xa ，则a 3、已知 2015 2 lim(0,) (1)
12、k k x x C xx ，求常数, k C 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 7 页 4、设 3 2 lim2 1 x x axbxc x ，求常数, ,a b c 5、设当0x ， 222 44sinxxkx，求常数k 七、有关闭区间上连续函数的性质七、有关闭区间上连续函数的性质 1、证明方程 5 31xx至少有一个根介于 1 和 2 之间。 2、证明方程sin10xx 在开区间, 2 2 内至少有一个根。 3、设 f x在a,b上连续，且在a,b上的值域也为a,b。证明存在, a b使得( )f xx 成立。 2015-2016 学年微积分 A1 练习册 版权归文理学部微积分 A 课程建设团队所有 共 86 页，第 8 页 第二部分 导数与微分 一、导数的概念一、导数的概念 1. 设函数( )f x在点 0 xx处可导，且 0 00 1 lim 2()4 h h f xhf x ，则 0 ()fx等于（ ） A4 B2 C2 D4
