《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2_2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课时提升作业2 新人教a版选修1-11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2_2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质课时提升作业2 新人教a版选修1-11（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金，不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。双曲线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若双曲线x28-y2m=1的渐近线方程为y=2x，则实数m等于()A.4B.8C.16D.32【解析】选D.由题意，得双曲线焦点在x轴上，且a2=8，b2=m，所以a=22，b=m.又渐近线方程为y=2x，所以m8=4.所以m=32.2.(2015全国卷)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2【解析】
2、选D.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)，如图所示，|AB|=|BM|，ABM=120，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|=a，|MN|=3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=2.【补偿训练】已知04，则双曲线C1：x2cos2-y2sin2=1与C2：y2sin2-x2sin2tan2=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】选D.因为00)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能是()A.15B.25C.60D.165【解析】选C.双曲线
3、的渐近线方程为y=33x，所以渐近线的倾斜角为30或150，所以POF不可能等于60.4.(2015银川高二检测)已知双曲线x22-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(3，y0)在双曲线上，则PF1PF2=()A.-12B.-2C.0D.4【解题指南】由渐近线方程求出b，得到双曲线方程，进而求出F1，F2及P的坐标即可.【解析】选C.由渐近线方程为y=x知，b2=1，所以b=2，因为点P(3，y0)在双曲线上，所以y0=1，y0=1时，P(3，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)，所以PF1PF2=0，y0=-1时，P(3，-1)，PF1PF2=
4、0.5.设P是双曲线x2a2-y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=()A.1或5B.6C.7D.9【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,所以ba=32,因为b=3,所以a=2.又|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|3-|PF2|=4.所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015全国卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y=12x，则该双曲线的标准方程为_.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=12x，可设双曲线的方程为x24-y2
5、=m，把(4，3)代入x24-y2=m，得m=1.答案：x24-y2=17.(2015揭阳高二检测)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FBAB时，其离心率为5-12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_.【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，FBAB，则|AF|2=|AB|2+|BF|2，因为|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，所以c2-a2-ac=0，因为e=ca，所以e2-e-1=0，因为e1，所以e=5+12.答案：5+12【补偿训练】已知双曲线
6、C：x24-y2m=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是_.【解析】因为等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：x24-y2m=1的离心率e2，即4+m42.所以m4.答案：(4，+)8.(2015孝感高二检测)双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为_.【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n(mn)，所以a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，m-n=2a=6，又PF1PF2.所以PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6，得m2+n2-2mn=3
7、6，所以2mn=m2+n2-36=64，mn=32.设点P到x轴的距离为d，SPF1F2=12d|F1F2|=12|PF1|PF2|，即12d2c=12mn.所以d=mn2c=3210=3.2，即点P到x轴的距离为3.2.答案：3.2三、解答题(每小题10分，共20分)9.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=34x，求双曲线的离心率.(2)双曲线的离心率为2，求双曲线的两条渐近线的夹角.(3)双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4，-1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y=34x，所以ba=34或ba=43.当ba=34时，e=5
8、4；当ba=43时，e=53.(2)因为e=ca=2，所以a2+b2a=2，即a=b，所以双曲线渐近线方程为y=x.所以双曲线两条渐近线的夹角为90.(3)因为点A与圆心O连线的斜率为-14，所以过A的切线的斜率为4.所以双曲线的渐近线方程为y=4x.设双曲线方程为x2-y216=.因为点A(4，-1)在双曲线上，所以16-116=，=25516.所以双曲线的标准方程为x225516-y2255=1.10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程.(2)若P为这两曲线
9、的一个交点，求F1PF2的面积.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，双曲线方程为x2m2-y2n2=1(a，b，m，n0，且ab)，则a-m=4713a=313m,解得：a=7，m=3，所以b=6，n=2，所以椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4，所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=45，所以sinF1PF2=35.所以SF1PF2=12|PF
10、1|PF2|sinF1PF2=1210435=12.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为()A.y24-x24=1B.x24-y24=1C.y24-x29=1D.x28-y24=1【解析】选A.2a+2b=22c，即a+b=2c，所以a2+2ab+b2=2(a2+b2)，所以(a-b)2=0，即a=b.因为一个顶点坐标为(0，2)，所以a2=b2=4，所以y2-x2=4，即y24-x24=1.【补偿训练】渐近线方程为3x4y=0，焦点为椭圆x210+y25=1的短轴端点的双曲线方程
11、为_.【解析】双曲线的焦点为椭圆的短轴端点，即(0，5)，(0，-5)，所求双曲线方程可设为y29-x216=1(0)，所以5=9+16，=15.故所求的双曲线方程为5y29-5x216=1.答案：5y29-5x216=12.已知实数4，m，9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线x2m+y2=1的离心率为()A.306B.7C.306或7D.56或7【解析】选C.因为4，m，9成等比数列，所以m2=36，所以m=6.当m=6时，圆锥曲线方程为x26+y2=1，其离心率为306；当m=-6时，圆锥曲线方程为y2-x26=1，其离心率为7.【补偿训练】两个正数a，b的等差中项是92，等比中项
12、是25，且ab，则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为_.【解析】因为两个正数a，b的等差中项是92，等比中项是25，且ab，所以a+b2=92,ab=25,ab,解得a=5，b=4，所以双曲线方程为x225-y216=1，所以c=25+16=41，所以双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=ca=415.答案：415二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015广州高二检测)若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3，则其渐近线的斜率为_.【解析】双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2=3，所以ba=2，其渐近线的方程为y=bax，其斜率为2.答案：24.(2015郑州高二检
13、测)设双曲线x29-y216=1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.【解题指南】利用双曲线方程和直线方程求出B点的坐标，可得三角形的高.【解析】双曲线x29-y216=1的右顶点为A(3，0)，右焦点为F(5，0)(由于两渐近线关于x轴对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)，一条渐近线为y=-43x，则BF所在直线为y=-43(x-5)，由y=-43(x-5),x29-y216=1,得B175,3215，所以SAFB=12|AF|yB|=3215.答案：3215三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015青岛高二检测)
14、已知F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，求C2的离心率.【解析】设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)，|AF1|=m，|AF2|=n，因为A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，所以m+n=4，n-m=2a，所以m=2-a，n=2+a.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF1AF2.因为|F1F2|=23，所以m2+n2=12，即8+2a2=12，所以a=2，所以e=ca=32=62.6.(2015衡阳高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点F(22，0)作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且OFFP=-6，求
