《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教a版选修2-1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金，不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(重点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.(难点)基础初探教材整理1空间向量基本定理阅读教材P92P93“倒数第2自然段”内容，完成下列问题.如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_.其中a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做基向量.【答案】xay bzc基底
2、判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b,2c也可构成空间一个基底.()(2)若a，b，c为空间一个基底，且pxaybzc.若p0，则xyz0.()(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间向量的正交分解及其坐标表示阅读教材P93最后一段P94内容，完成下列问题.1.单位正交基底有公共起点O的三个_e1，e2，e3称为单位正交基底.【答案】两两垂直的单位向量2.空间向量的坐标表示以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以_的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对
3、于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得_.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作_.【答案】e1，e2，e3px e1y e2z e3p(x，y，z)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同.()(2)若(2,3,0)，则点P在平面xOy内.()(3)若(0,0,1)，则点P在z轴的正半轴上.()(4)设|e1，e2，e3|是空间向量的一个单位正交基底，a2e13e27e3，则a(2，3,7).()【答案】(1)(2)(3)(4)小组
4、合作型基底的概念与判断设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个【精彩点拨】(1)能作为空间一基底的向量组应满足什么条件？(2)能否构造图形，利用平行四面体中棱与面上的对角线所对应的向量关系来直观判断？【自主解答】如图所示，令a，b，c，则x，y，z，abcAC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选C.【答案】C1.判断一组向量能否作为空间向量的一个基底，实质是判断这三个向
5、量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.2.判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.再练一题1.已知e1，e2，e3为空间一基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，能否以，作为空间的一个基底？【解】假设，共面，根据向量共面的充分必要条件有：xy，即e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.此方程组无解.，不共面，可作为空间的一个基底.空间向量基本定理的应用四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，
6、c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.【精彩点拨】(1)所求向量分别在哪个三角形中？(2)怎样用向量的线性运算表达所求向量？【自主解答】连接BO，则()()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.1.本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底a，b，c，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止.2.基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果
7、此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.再练一题2.点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为()A.，B.，C.，D.，【解析】如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()()，比较知x，y，z，故选D.【答案】D探究共研型空间向量的坐标表示探究1在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系.【提示】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.探究2用坐标表示空间向量的步骤是什么？【提示】用
8、坐标表示空间向量的方法步骤为：如图3127，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标. 【导学号：37792115】图3127【精彩点拨】根据图形，建立怎样的坐标系？如何表示向量，的坐标？【自主解答】CC1AC，CC1BC，ACBC，且CACB1，CC12，以为单位正交基底建立空间坐标系Cxyz，如图所示，的坐标为(1，1,1)，而，的坐标为(1，1,2).又，的坐标为(1,1，2).在空间坐标系中确定向量坐标的方法,用坐标形式表示向量需解决两个问题：一是恰当建立空间直角坐标系，通常选取
9、互相垂直的直线为坐标轴，顶点或中点为原点；二是正确求出向量的坐标.确定向量的坐标一般有两种方法：运用基底法，即把空间向量正交分解，用相互垂直的三向量为一组基底表达某一向量，进而得坐标；运用投影法，求出起点和终点坐标.再练一题3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图3128所示建立空间直角坐标系.图3128(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，的坐标.【解】(1)设x轴，y轴，z轴的单位向量分别为i，j，k.因为正方体的棱长为2，所以2i，2j，2k.因为D(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).又因为2i2
10、j，所以B(2,2,0).同理可得，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2).(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0).所以(2，1，1)，(2，1，2)，(0,2，1).1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是()A.，B.，C.，D.，【解析】由条件知，不共面，故选D.【答案】D2.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)【解
11、析】8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，点A在i，j，k下的坐标为(12,14,10).【答案】A3.三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_.【解析】()()，故.【答案】4.如图3129，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，E，F分别是BB1和DC的中点，试找一空间的基底，并写出向量，在此基底下的坐标. 【导学号：37792116】图3129【解】易知，为空间的一个基底.，所以的坐标为.，所以的坐标为.，所以的坐标为.经自查我局不存在违规接待、超标准接待和用公款购买赠送礼品、有价证券等问题;不存在借各种名义变相安排公务接待，或内部接待公私不分，违规公款吃喝、公款消费、
