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1、全省各地交警部门积极会同媒体围绕畅行中国，交警同行主题进行宣传筹备，组织走进直播间、现场连线、随警作战等活动1.3第二课时 函数的极值与导数一、课前准备1课时目标（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.（2）会用导数求函数的极大值和极小值.2基础预探(1) 函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极大值=f(x0)，x0是 .如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极小值= f(x0)，x0是 .极大值与极小值统称为极值.(
2、2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数 ，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 .(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤: (1)确定函数的定义区间，求 . (2)求方程f(x)=0的 .(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的 ，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 .二、学习引领极值点和极值的常见基本性质:1. 极值是
3、一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.2. 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值，如图(1)所示，是极大值点，是极小值点，而 4. 若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的,如图(2)所示，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.5. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.6. 可导函数的极值点的导数为0，但
4、是导数为0的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处导数为0，但x=0不是极值点.三、典例导析题型一 求函数的极值例1 设函数（）,其中,求函数的极大值和极小值思路导析: 先求函数的导数，再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求出极值.解：，令，解得或由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且规律总结: 该问题既求函数的极大值,又求极小值,需要依据求极值的基本步骤进行.列表判断符号是关键.当两个可疑极值点大小不确定时,需要进行分类讨论.变式训练1已知，函数，求函数在的极值.题型二 函数极值(点)的判定例2 已知函数yf(x)的导函数yf(x
5、)的图象如下图所示，则().A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点思路导析:依据导函数值的符号与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再依据单调性判断函数极值.解:由导函数图象可知,当和时,当函数值非负,其余部分导函数值非正,据此可以判断为极大值点, 为极小值点,故该函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点.规律总结:由图象性质判断函数的极值,其依据是函数极值的定义,因此,由导函数的性质判断函数的单调性,是解决该类问题的关键所在.变式练习2已知与是定义在上的连续函数，
6、如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）.A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值题型三 已知函数的极值,求参数的值或取值范围例3已知函数图象上的点处的切线方程为若函数在时有极值，求的表达式.思路导析:求函数的解析式,即求参数的值.利用极值的性质和切线的意义建立方程组,解方程组,便可求解.解：，因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即(1).得.(2) 函数在时有极值，所以(3)，联立方程(1),(2),(3),解得,所以 规律总结: 上述问题中,为了建立方程,充分利用了函数在处有极值的必要条件.在此需
7、要注意一点,一般情况下,对求得的值或范围,需要依据极值点的定义进行检验,以确定取舍.变式练习3设函数,若的极值点，求实数.四、随堂练习1. 函数有（ ）.A. 极小值1，极大值1B. 极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2D. 极小值1，极大值32. 已知函数,那么( ). A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 D.有极大值和极小值3. 下列说法正确的是( ). A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于,若,则无极值;D.函数在区间上一定存在最值.4. 若函数y=x3+ax2+bx+27在x=1时有极大值，在x=3时有极小值，则
8、a=_,b=_.5. 函数f(x)=x的极大值是_，极小值是_.6. 设,令,求在内的极值.五、课后作业1. 函数的定义域为开区间，导函数在 内的图象如图所示，则函数在内有极小值 点共有（ ）.A1个 B2个 C3个 D 4个 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是( ).y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xA. B. C. D.3.若函数在处取得极值,则 .4.函数f(x)=x+b有极小值2，则a、b应满足的条件是 .5. 已知函数,若是函数的极值点,求的值.6. 已知函数是上的奇函数，当时取得极值.求的单调区间和极大值.1.3第二课时 函数的极值与导数答案及解析一、2. 基础
9、预探(1) 极大值; 极大值点; 极小值; 极小值点(2)异号; 极大值点; 极小值.(3) 导函数;根; 符号; 极大值; 极小值; 无极值.四、变式练习1.解: 由求导得，. 令, (1)当即时(-1,0)0+0-0+极大值极小值 6分故的极大值是;极小值是.(2) 当即时,在上递增, 在上递减,所以的极大值为,无极小值. 2. 解答：C.解析:依据函数极值的定义,如果0是的极大值,则在极值点的附近, 恒成立,结合,所以,在某个点附近成立,所以也是的极大值,故C错误.其它选项同理可以判断正确.3. 解答求导得因为的极值点，所以解得经检验，符合题意，所以四、随堂练习1. 答案:D.解析：，令
10、得 ,当时，；当时，；当，,时，当，故选D.2. 答案:C.解析: ,当时, 当时,所以为极大值点.3.答案:C.解析: 由知,当时,判别式小于零,所以无极值.4. 答案:3,9.解析:求导将x=1,x=3代入,得方程组,解方程组即得.5. 答案: 0 ,.解析:,当时,导数不存在,有极大值0;当,取极小值.6. 解:求导得，故，于是.列表如下：2减极小值增所以，在处取得极小值五、课后作业1. 答案:A.解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点,即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，故选A.2. 答案:B.解析: y=x3, y
11、=2x在x=0处无极值. 符合.3.答案:0.解析:因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.4. 答案: a0,b=2(1).解析：f(x)=.由题意可知f(x)=0有实根，即x2a=0有实根,a0，x=或x=，f(x)=令f(x)0,得x; 令f(x)0,得x0,b=2(1).5.解:函数的定义域为. . 因为是函数的极值点，所以. 所以或. 经检验，或时，是函数的极值点. 所以的值是或. 6. 解析:由奇函数定义，有. 即 因此， 由条件为的极值，必有 故 ,解得 因此 当时，故在单调增区间为;当时，故的单调减区间;当时，故单调增区间为.所以，在处取得极大值，极大值为各地交警部门将在9月29日前通过电视、广播、交警双微平台等各类渠道，向社会公布本地国庆假期交通流量研判情况和分流绕行预案警媒携手联合开展出行安全信息和预警提示。
