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1、第 十 二 章 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 和 信 号 的 频 谱 重点：1 平均值、有效值及平均功率2 非正弦周期电路的分析非 正 弦 周 期 电 路对于线性非时变电路而言，可以运用叠加定理计算多个正弦电源作用下的稳态响应，前面我们往往只涉及到同频率的情况，如果这些正弦电源的频率不同，电路分析的情况又会有改变。本章中，我们先从叠加的角度来看非正弦周期电路的分析，然后，我们再从分解的角度来看非正弦周期电路的分析及频谱的概念。12.3.1 正弦稳态的叠加一、不同频率的激励作用时根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。我们看下面的电路，其中 VtuS 5
2、cos210， A 4cos2tiS，由于两个电源的频率不同，就整个电路来说，我们不能直接使用相量法。但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。再笔筒频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。 1 1F +1H uS _ iS图 12-17 不 同 频 率 的 电 源 叠 加1 -0.2j + 5j10o oI - (a) 1 -0.25j 4j 2o oI(b)图（a）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据 srad/5计算；图
3、（b）是电流源单独作用时的电路，其中的阻抗根据 srd/4计算； 图（a）中Ajjj.jo oo 8.1202.05205)(1 I图（b）中 jjjo oo 9.46.13.4 I所以： Atio )8.5cs( o9206.待求量： Attiioo )9.14cos(206. oo二、各种频率正弦激励的叠加 tAtfsin4)(1)3sin1(i4)2 ttAtf )5sis3 t)7sin1i3(i)4 ttttfP267 f1(t) 4A/ O t f2(t) A O t f3(t) A O tf4(t) A O t12.3.2 非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱一、非正弦周期函数
4、的傅立叶分解1定义如果给定的周期函数 )(tf满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点） ，则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。而在电工技术中，我们所遇到的周期函数通常均满足该条件。这样 1010 )cos(in)(kkmkktAtbtatf其中，两式中的各个系数的计算公式及对应的系数的关系 20)(1)(1TTdtfdtfa )(cos)(1)(cos)(1)cos()cos2 2020 tdktftdktfdtkfkTk ininin)in( 2020 ttdttfTbTk参见教材 P265。在该展开式中， 0A称为周期函数 )(tf的恒定分量，也称为直
5、流分量；与原周期函数的周期相同的正弦分量 cos(11tm称为一次谐波，也称为基波分量。其他各项称为高次谐波（如 2 次谐波、3 次谐波等等）2各种常用周期信号的傅立叶展开1）方波 f(t) A t 0.5T -A T图 12-8(c) 矩 形 波 三 )7sinsi3sin(i4) ttttAtf，其中的 T22）三角波 f(t) A t T-A 图 12-9 三 角 波 )7cos45sin3si91(in8)2 ttttAtf，其中的 T23）锯齿波 f(t) A tT 2T 3T图 12-0 锯 齿 波 )4sin1sisin(si2)( ttttAtf，其中 T24）正弦整流全波 f
6、(t) A tO 0.5T T图 12-1 正 弦 全 波 整 流 波 形 )8cos631cs34cos5cs312(4) tttAtf，其中 T212.3.3 非正弦周期函数的有效值与平均功率一、有效值以电流为例，周期电压、电流的有效值的定义为： TdtiI02)(1前面已经谈到，任意周期函数均可展开为傅立叶级数： 110 )sin()(nnmtIti代入有效值的定义式： TnnmdttII0 211)si(积分号内的平方式展开有以下几种情况： 2001IdtT2)(sin1nmnmIdtt0210TInpdttptnITpnpmn 0)si()si(210 11因此， )(ti的有效值为
7、：232101220 IIInm。其中，2nmI为各个 n 次谐波分量的有效值。同理，任意电压 )(tu的有效值为：23210120 UUnm，其中， 2nmU为各 n 次谐波分量的有效值。二、平均功率平均功率的定义为： TdtituP0)(如果电压与电流均可展开为傅立叶级数： 110 )sin()(nnmtUt 110nnIi代入平均功率的定义式： 110011 )si()si(1 nnmTnnm dttItUP积分号内的乘积式展开有以下几种情况： 00IdtIT)sin(11nmdtt0TnUI npdttptnnpm 0)si()si(11 nnnnmTn IUIUI cos)cos(2
8、10因此，二端网络吸收的平均功率为： 1010 nn PP。其中，00IUP为电压电流的直流分量构成的功率， nIcs为各电压电流 n 次谐波构成的平均功率。另外，我们可以发现，只有同频率的电压电流才构成平均功率，不同频率的电压电流所构成的平均功率总为零。12.3.4 频谱一、非正弦周期函数的频谱对某函数以频率为横轴，各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为该函数的频谱。对于周期函数而言，其频谱为一系列谱线。如 方波 f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 图 12-22 矩形波的傅立叶频谱 三角波 f(t) A tT -A A
9、km 8A/2 8A/252 3 5 7 8A/92图 12-23 三角波的傅立叶频谱 锯齿波 f(t) At T 2T 3TAkm A/2 / A/2 A/3 A/4O 2 3 4 图 12-24 锯齿波的傅立叶频谱 正弦整流全波f(t) A t O 0.5T TAkm 4A/2 /3 4A/35 4 82 6 4A/63 4A/15图 12-25 正弦全波整流形波的傅立叶频谱二、傅立叶变换与频谱函数1周期函数的傅立叶级数的指数形式 110 1010 2)(2)( )2()2(sinco)( ktjkktjk tjktjktjktjkk ebaeba ebeattf令 2kjc，且对所有 0
10、，均有 0c，则ktjkectf)(，其中dtetfTjkk0)(， 0ac2幅度频谱与相位频谱 体现| k|与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。由于指数级数中的 k 可以分别取相应的正负值，因此幅度频谱关于 Y 轴对称；而其谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。例如方波 f(t) A t Of(t) A t 0.5T -ATAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 图 12-6(a) 方 波 的 傅 立 叶 频 谱|ck| 2A/ 2A/3 2A/5 2A/7 3 5 7 图 12-6(b) 方 波 的 幅 度 频 谱 体现| kc|与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。仍
11、以方波为例 k /2 3 5 7 9 -9 -7 -5 -3 - -/2图 12-6(c) 方 波 的 相 位 频 谱三、非周期函数的傅立叶变换对于非周期函数而言，我们同样可以从频谱的角度来研究。其中傅立叶变换就是其数学基础，定义傅立叶变换： dtetfjj)()(FF )(tf，该函数称非周期函数的频谱函数。而 )(jF也称为函数 tf的傅立叶象函数， 称 j的傅立叶原函数。对于非周期函数而言，其频谱为连续函数。例如单脉冲函数： 2| 0)(tAtf，经过傅立叶变换后得到的傅立叶象函数为： 2sinsi2)()( AdtetfjjF|F(j)| A 2/ 4/ 6/ () 2/ 4/ 6/F(j) A 2/ 4/ 6/ 载波频率为 0 的包络线为矩形波的频谱特性： f(t) A t O F(j) A/2 f(t) A 0
