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1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式13-x12+x0的解集为()A.-,-1213,+B.-12,13C.-,-1312,+D.-13,12答案:A2.若ab|b|B.1a-b1aC.1a1bD.a2b2答案:B3.已知a0,b0,a+b=1a+1b,则1a+2b的最小值为()A.4B.22C.8D.16解析:由a+b=1a+1b=a+bab得ab=1,则1a+2b21a2b=22,故选B.答案:B4.(2017北京高考,文4)若x,y满足x3,x+y2,yx,则x+2
2、y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析:由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+23=9.故选D.答案:D5.若关于x的不等式ax-b0的解集是(-,-2),则关于x的不等式ax2+bxx-10的解集为()A.(-2,0)(1,+)B.(-,0)(1,2)C.(-,-2)(0,1)D.(-,1)(2,+)解析:关于x的不等式ax-b0的解集是(-,-2),由ax-b0,得xba,a0,由于a0,x2-2xx-10,解得x0或1x0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3),若z=2
3、x+y的最小值为1,则a+12=()A.14B.12C.1D.2解析: 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由z=2x+y得y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小.由2x+y=1,x=1解得A(1,-1),因为点A也在直线y=a(x-3)上,所以-1=a(1-3),解得a=12,故a+12=1.答案:C11.若关于x的不等式(-2)na-3n-1-(-2)n0对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是()A.1,43B.12,43C.1,74D.12,74解析:当n为奇数时,2n(1-a)3n-1,即1-a1332n恒成立,只需1-
4、a12.当n为偶数时,2n(a-1)3n-1,a-11332n恒成立,只需a-113322,a74.综上,12a74.故选D.答案:D12.设x,y均为正实数,且32+x+32+y=1,则xy的最小值为()A.4B.43C.9D.16解析:由32+x+32+y=1得xy=8+x+y,x,y均为正实数,xy=8+x+y8+2xy(当且仅当x=y时等号成立),即xy-2xy-80,解得xy4,即xy16,故xy的最小值为16.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案写在题中的横线上)13.函数y=2x+2x(x0)的最大值为.解析:x0,(-2x)+-2x2(-2x)-2x
5、=4,即y=2x+2x-4当且仅当-2x=-2x,即x=-1时取等号.答案:-414.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)的解析式为,不等式f(x)0,则-x0).又f(0)=0,f(x)=x2-6(x0).当x0时,f(x)xx2-x-60,解得-2x0;当x=0时,f(x)0,无解;当x0时,f(x)x-x2+62.综上所述,f(x)0在区间1,5上有解,则a的取值范围是.解析:由=a2+80,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间1,5上有解的条件是f(5)0,f(1)0,解得a-235,且a1,故a的取值范围为-235
6、,1.答案:-235,116.导学号93924072(2017山东烟台高二期中)某赛事组委会要为获奖者制作某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异,现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,甲、乙两厂的具体收费情况如下表:奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600则组委会制作该工艺品的费用总和最低为元.解析:设甲厂生产一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,其中x,yN,则乙厂生产一等奖奖品(3-x)
7、件,二等奖奖品(6-y)件,则满足x+y4,3-x0,6-y0,x,yN,设费用总和为z元,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300x-200y+6 000,作出不等式组表示的平面区域如图所示.由图可知直线z=-300x-200y+6 000过点A时,z取最小值.由x=3,x+y=4得x=3,y=1,即A(3,1),所以组委会制作该工艺品的费用总和最低为-3003-2001+6 000=4 900(元).答案:4 900三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求函数y=x2+7x+10x+1(x-1)的最
8、小值.解:x-1,x+10,y=x2+7x+10x+1=x2+2x+1+5x+5+4x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+524+5=22+5=9,当且仅当x=1时,ymin=9.18.(12分)已知log12(x+y+4)log12(3x+y-2),若x-y0,3x+y-20,x+y+43x+y-2,即x+y+40,3x+y-20,x3,画出可行域(阴影部分)如图所示:在可行域内平移直线z=x-y,当直线经过3x+y-2=0与x=3的交点A(3,-7)时,目标函数z=x-y有最大值3+7=10.则z=x-y的取值范围是(-,10),若x-y0.(2)若关于x的不等式
9、f(x)0的解集是(-1,3),求实数a,c的值.解:(1)由已知有:f(1)=-3+a(6-a)+190,即a2-6a-160,解得-2a8.所以不等式的解集为a|-2a0的解集是(-1,3)可知:-1,3是关于x的方程3x2-a(6-a)x-c=0的两个根,则有0,-1+3=a(6-a)3,-13=-c3.解得a=33,c=9.20.(12分)若x-1,1时,不等式x2+bx+1b恒成立,求b的取值范围.解:令f(x)=x2+bx+1-b,即x-1,1时,f(x)min0.(1)当-b22时,f(x)min=f(-1)=2-2b0,即b1,无解.(2)当-b2-1,1,即-2b2时,f(x
10、)min=f-b2=-b24-b+10,解得-2-22b22-2.又-2b2,-2b22-2.(3)当-b21,即b0恒成立.综上可得,b的取值范围为(-,22-2.21.导学号93924073(12分)(2017广东东莞高二质检)某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100 g含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米饭每100 g含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?解:设每盒盒饭需要面食x(百克),米饭y(百克),所需费用为z=0.5x+0.4y,且x,y满足
11、6x+3y8,4x+7y10,x0,y0,作出可行域,如图阴影部分所示.令z=0,作直线l0:0.5x+0.4y=0,即直线5x+4y=0.由图可知,把直线l0平移至过点A时,z取最小值.由6x+3y=8,4x+7y=10得A1315,1415.答:每盒盒饭为面食2603 g,米饭2803 g时既科学又费用最少.22.导学号93924074(12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少
