2007年春季学期《博弈与社会》期中考试试题

《2007年春季学期《博弈与社会》期中考试试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2007年春季学期《博弈与社会》期中考试试题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2007 年春季学期博弈与社会期中考试年春季学期博弈与社会期中考试 参考解答参考解答 解题思路供参考，时间仓促，具体计算可能有纰漏 解题思路供参考，时间仓促，具体计算可能有纰漏 1 （15 分）考虑下面的博弈，单元格里前后两个数字分别代表甲、乙两人的支付水平： 乙乙 W X Y A 2,0 1,1 4,2 B 3,4 1,2 2,3 C 1,3 0,2 3,0 甲甲 (1) 找出所有的所有的纳什均衡（包括混合战略） ，注意均衡的定义和表述方式（8 分） 纯战略纳什均衡： （B，W）和（A，Y） 混合战略纳什均衡： (1/3,2/3,0),(2/3,0,1/3)， 第一个小括号里的三个数字分别表

2、示甲选择 A、B、C 三种行动的概率，第二个小括号里的三个数字分别表示乙选择 W、X、Y 三种行动 的概率。 (2) 在支付矩阵表中找出所有帕累托最优的支付组合，找出所有卡尔多希克斯最优的支付 组合（7 分） 所有帕累托最优的支付组合支付组合为（3，4）和（4，2） 所有卡尔多希克斯最优的支付组合支付组合为（3，4） 2. （35 分）考虑下面这个博弈，注意：信息结构为时，只有图中标注为的直虚线；信 息结构为时，只有图中标注为的弯虚线。另外，双方的支付用上下的方式标出了，上面 一个数字表示 player 1 的支付，下面一个表示 player 2 的支付： 1 A B C 2 2 2 a b

3、c a b c a b c 4 0 0 0 1 0 5 0 3 4 0 5 0 1 0 0 0 3 (1) 分别在、的情况下写出 player 1 和 player 2 的信息集，并写出两者各自的所有纯战 略。 （7 分） 的情况下，p1 的信息集是最上面一个结点，p1 知道自己的可选战略，但不知道 p2 的实 际选择，p2 的信息集是三个标注 2 的结点的组合，p2 知道自己的可选战略，但不知道 p1 的实际选择。 此时，p1 的所有纯战略为 A、B、C，p2 的纯战略为 a、b、c 的情况下，p1 的信息集是最上面一个结点，p1 知道自己的可选战略，但不知道 p2 的实 际选择，p2 的信

4、息集有两个，一个是最左边一个标注 2 的结点，一个是另外两个标注 2 的 结点的组合，p2 知道自己的可选战略，同时可以知道 p1 是否选择了 A，但如果 p1 没有选 择 A，则不能分辨 p1 究竟是选择了 B 还是 C。 此时，p1 的所有纯战略为 A、B、C，p2 的所有纯战略为(a,a)，(a,b)，(a,c)，(b,a)，(b,b)， (b,c)，(c,a)，(c,b)，(c,c)，括号里前一个数字表示当 p1 选择 A 时 p2 的行动，第二个数字 表示当 p1 没有选择 A 时 p2 的行动。 (2) 如果、情况对应的虚线都不存在，使用逆向归纳法求出上面博弈的子博弈精炼纳什 均衡

5、。 （4 分） 由逆向归纳法，SPNE 为C,(c,b,c)，在虚线都不存在的时候，p2 的战略是三维的，共有 33327 个战略 (3) 用标准式重新表示型博弈，并求出纯战略纳什均衡，并讨论其子博弈精炼性。 （8 分） a,a a,b a,c b,a b,b b,c c,a c,b c,c A 4,4 4,4 4,4 0,0 0,0 0,0 0,5 0,5 0,5 B 0,0 1,1 0,0 0,0 1,1 0,0 0,0 1,1 0,0 C 5,0 0,0 3,3 5,0 0,0 3,3 5,0 0,0 3,3 纯战略纳什均衡为B,(b,b)、C,(b,c)、B,(c,b)、C,(c,c)

6、 不完全信息使得逆向归纳存在一点问题，但可以使用不完全信息使得逆向归纳存在一点问题，但可以使用 SPNE 的定义，在每个子博弈中必须 都得是 的定义，在每个子博弈中必须 都得是 NE（本题中除了原博弈，只有一个子博弈，即（本题中除了原博弈，只有一个子博弈，即 p1 选选 A 对应的那个结点开始的子博 弈） 。 对应的那个结点开始的子博 弈） 。 从而得到 SPNE 为B,(c,b)、C,(c,c)。 （其实排除的就是当 p1 选 A 时， p2 选 b 的情况） (4) 在的情况下，若博弈只进行一期，用标准式重新表示型均衡，并找出所有纳什均衡 （包括混合策略） 。 （4 分） a b c A

7、4,4 0,0 0,5 B 0,0 1,1 0,0 C 5,0 0,0 3,3 所有的纯战略纳什均衡（B，b）和（C，c） ，混合战略纳什均衡，(0,3/4,1/4),(0,3/4,1/4)， 小括号里的数字表示两者选择 A(a)、B(b)、C(c)三种行动的概率，该混合战略对应的支付是 （3/4，3/4） (5) 若将博弈持续两期，讨论折现率对参与者两期选择的影响（4 分） ；若持续三期，分析 折旧率满足什么样的条件才能够使得帕累托最优支付组合得以实现 （4 分） ， 讨论不同折 旧率的人会在那一期背叛，给予简要解释（4 分） 。提示：用以牙还牙以牙还牙战略分析，考虑参 与者存在多种背叛策略

8、。 帕累托最优支付组合是（帕累托最优支付组合是（4，4） ，在单期博弈中，不可能通过一个纳什均衡实现，而由于本 题由于存在多个纳什均衡，因此可以在多期（只需要有限期）构造一种胡萝卜加大棒的战 略，使得帕累托最优支付能够通过一个纳什均衡来实现。 ） ，在单期博弈中，不可能通过一个纳什均衡实现，而由于本 题由于存在多个纳什均衡，因此可以在多期（只需要有限期）构造一种胡萝卜加大棒的战 略，使得帕累托最优支付能够通过一个纳什均衡来实现。 两期的情况两期的情况 第一期选择 A(a)，如果对方在第一期选了 a(A)，则第二期选 C(c)作为奖励，如果对方在第 一期没有选 a(A)，则第二期采用（4）中解出

9、的混合战略作为惩罚。 该机制能够维持合作的条件是：43p50.75p，得到 p4/9，即折现率超过 4/9 时，可 以在第一期维持一个帕累托有效的支付，否则，每期都是单期纳什均衡所对应的支付。 三期的情况三期的情况 题目中以牙还牙的战略实际上需要更多假设和限制，下面的解法是一种情况，大家还是再 看看 题目中以牙还牙的战略实际上需要更多假设和限制，下面的解法是一种情况，大家还是再 看看 trigger 战略的解法（见期中考试复习材料）战略的解法（见期中考试复习材料） 以牙还牙战略即 tit-for-tat 战略。仿两期情况的构造，如果前一期选择帕累托有效支付对应 的行动，则后面也一直选择，并且到

10、最后一期选择奖励的纳什均衡，而一旦有人背叛，则就 地采取最严厉的惩罚， 第三期由于是最后一期肯定是实现纳什均衡的支付， 究竟是哪个纳什 均衡取决于前面的表现，如前面一直合作则奖励之，前面背叛则惩罚之，前一期有认错的行 为也原谅之（所以相对于 trigger 的情况，这里多了第四种可能） 【前两期合作】的收益：44p3p2 【仅第一期合作】的收益 45p0.75p2 【从第一期开始背叛】的收益 50.75p0.75p2 【第一期背叛，第二期合作】的收益 50p3p2 可以验证，第四种情况可能永远不会是最大收益值，所以最终的解与 trigger 时解的结果相 同，临界值为 4/17 和 4/9，小

11、于前者时从第一期就开始背叛，介于两者中间时第一期可以 维持合作，大于后者时可以前两期都维持合作。 0 2 4 6 8 10 12 15171033 1549 2065 2581 3097 3613 4129 4645 5161 5677 6193 6709 7225 7741 8257 8773 9289 9805 y1 y2 y3 y4 图示，y1y4 分别表示四种战略的收益，在任何一个区间，y4 也不是四者中的最大值。 3.（25 分） 考虑一个征税过程中的腐败问题。居民的实际收入为 y，只有居民自己知道实 际产出。政府向居民征税，税率为 t，但并不知道实际的 y，为此政府派出检查员检查居

12、民 的实际税收。通过检查，检查员知道了实际的 y。此时，如果居民不对检查员有任何贿赂的 话，检查员将如实上报居民的实际收入。所以居民为了避税，向检查员贿赂 b。检查员一旦 接受了贿赂，就向政府上报居民的收入为 m，m1b 的情况与上面类似，不同之处在与摊的情况与上面类似，不同之处在与摊 1 的份额为的份额为 1x，而摊，而摊 2 的为的为 x，推导 略 ，推导 略 叁）叁）而而 a1b 时情况有所差异，这时对全部的消费者而言到两者的距离相等，两者价格 必须相同，否则价格更低的摊主能够获得全部的顾客，这时双方进行一个相同商品的价格 竞争，竞争的均衡是 时情况有所差异，这时对全部的消费者而言到两者

13、的距离相等，两者价格 必须相同，否则价格更低的摊主能够获得全部的顾客，这时双方进行一个相同商品的价格 竞争，竞争的均衡是 p1=p2=c，此时份额各半，利润（超额利润）为，此时份额各半，利润（超额利润）为 0。 2) 校方采纳了学生的建议， 在方便学生购买和良好校容两者之间做了一个权衡： 学校允许 摊主可以自由选定位置， 但是每天摊主一旦定下了位置就不可以再更换。 这样在每天的 博弈中，两个摊主先同时确定自己的位置，也就是选择 a 和 b，然后同时决定各自的 水果价格。此时会有均衡吗？有的话求出均衡并解释，没有的话请说明。 （10 分） 首先，两人不在一点的选址不构成首先，两人不在一点的选址不

14、构成 NE，双方都有向中间靠的动机，知道到达一点。，双方都有向中间靠的动机，知道到达一点。 证明：第二期显然会按照前面的策略行事，即根据第一期选择的 a 和 b 进行定价竞争，也 就是说得到均衡的利润水平，下面回到第一期，给定第二期的策略，考虑第一期的最佳定位 （本小题仍然讨论与上一小题一样的情况，即摊 1 在摊 2 的左边） ： 0)( 9 1 3 1 * 1 += tba a ，也就是说，如果摊 1 在摊 2 左边，那么向中间移动是有利可 图的，同时右边的摊也有动机向左边移动，直至两个摊位于同样一点，即 ab1。 其次，两人在一点的时候只有在中点才能构成其次，两人在一点的时候只有在中点才能

15、构成 NE，否则双方都有向一边偏离的动机。，否则双方都有向一边偏离的动机。 一旦两摊位于同样一点，就进入了前文所述的第叁）种情况，此时价格相同均为 c。要理解 这里的行为，还必须有这样一个假设（当然一般这个假设是很自然的） ，利润为 0 的摊主的 目标还要包括最大化市场规模（这里讲的利润为 0 实际上是超额利润为 0，基本的利润实际 上在成本里面就包括了销售自然是越大越好） 。此时除非双方都位于中点，否则都有动机向 份额更大的方向移动。 因此，有均衡，因此，有均衡，NE 是双方在第一期选择在中点设摊，第二期进行一个冰点价格（价格等于 成本）的竞争。 是双方在第一期选择在中点设摊，第二期进行一个冰点价格（价格等于 成本）的竞争。