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1、第五讲第五讲 对称和旋转、翻折专题对称和旋转、翻折专题 对称、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换所谓几何变换就是根据确定的法则，对给 定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系这类实 体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多 变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力 【例【例 1 1】在ABC中，由点A向BC边引高线，垂足D落在BC上，如果2CB= 。 求证：ACCDBD+=. 【解析】【解析】如图所示，以AD为对称轴翻折ADC到 1 ADC的位置， 则 1 C在BD上， 1 ACAC=， 1 C DCD=， 1
2、 2AC DACDB= = . 在 1 ABC中， 根据外角定理可知 11 ABCBAC= ， 所以 11 ACBC=， 故 1111 ACCDACC DBCC DBD+=+=+=. 【例例 2 2】 如图所示， 在四边形ABCD中，BCCD=，60BCAACD=。 求证：ADCDAB+. 【解析】【解析】以AC为对称轴将DAC翻折到D AC的位置，连接BD. 则CDCDBC=， 60BCDBCAACDBCAACD= = = ， 故D BC为等边三角形. 从而ADCDADD BAB+=+， 等号成立时AC平分BAD. A B C D A B C D C 1 D C B A D D C B A
3、【例【例 3 3】如图所示，在ABC中，2ACBABC= ，P为三角形内一点，APAC=，PBPC=。 求证：3BACBAP= . 【解析】【解析】由已知条件PBPC=，考虑作直线PMBC于M， 并 以PM为对称轴将APC翻折至A PB的位置，连接AA.由轴 对称的性质有/ /AABC，2A BCACBABC= = . 因为A ABABCA BA= = ， 于是AAA BACAPA P=， 即A AP是正三角形， 从而可得60ABCA ABBAP= = ，21202ACBABCBAP= = . 再由ABC三内角之和为180， 即(60)(1202)180BAPBAPBAC+ + = ， 整理后
4、得3BACBAP= . 【例【例 4 4】命题：如图 1，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过点 A 作 AGEB，垂足为 G，AG 交 BD 于 F，则 OE=OF.对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AGEB 交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线交 DB 的延长线于 F，其它条件不变.如图 2，则结论“OE=OF” 还成立吗？如成立，请证明；如不成立请说明理由. 图 1图 2 P C B A P C B A M A 【解析】【解析】结论 OE=OF 成立. 在BOE 和AOF 中 OA=OB， AOF=BOE 又AFO+FAE=B
5、EO+EAF AFO=BEO AFOBEO OE=OF. 【例【例5 5】如图1，在六边形 ABCDEF 中，AB/ED，AF/CD，BC/FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对 角线 FDBD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形 ABCDEF 的面积为多少？ 【解析【解析】本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将DEF 平移到BAG，将BCD 平移到GAF 的位置 则长方形 BDFG 的面积等于六边形的面积 即 S六 ABCDEF=S正 BDFG=1824=432cm 2 【例【例6 6】如图2，P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA=a，P
6、B=2a，PC=3a（a0） ，求： （1）APB 的度数； （2）正方形的边长 【解析】【解析】将APB 绕点 B 顺时针转90，得CQB，显然CQB APB，连接 PQ， PBQ=90， PB=QB=2a， 所以PQB=QPB=45， PQ= 于是APB=9045=135 （2） 【例【例7 7】如图3，P 是等边ABC 内一点，PA=2，PB，PC=4，求 BC 的长 【解析】【解析】将BPA 绕点 B 旋转60， 则 BA 与 BC 重合， BP=BM，PA=MC， 连接 MP，则MBP 为正三角形， 即，PC=4， 因为， 所以MPC=30， 又因为MPB=60， 所以CPB=90，
7、 得 BC 【例【例8 8】 如图5，已知ABC 是等腰直角三角形，C=90，ECF=45，求证：EF 2=EA2BF2 【解析】【解析】将AEC 和BCF 向内翻折，所以 AE=EO，BF=OF， 因为ECF=45， 所以 AC 与 BC 重合于 OC， 且EOF=90 则， 即 【例【例 9 9】 如图，将ABC绕顶点A顺时针旋转 60后得到ABC，且C为BC的中点，则CD:DB =（） A1:2B1:22C1:3D1:3 【解析【解析】 由于ABC是ABC绕顶点A顺时针旋转 60后得到的， 所以， 旋转角CAC=60，ABCABC，AC=AC，CAC=60， ACC是等边三角形 ，AC=
8、AC又C为BC的中点，BC=CC，易得 B C A B C D ABC、ABC是含 30角的直角三角形，从而ACD也是含 30角的直角三角形，CD= 2 1 AC ，AC= 2 1 BC，CD= 4 1 BC，故CD:DB= 1:3 【例【例1010】已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合 (1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)， 2 3 AF=，求DE的长； (2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，AED的外接圆与直线BC相切， 求 折痕FG的长 【解析】【解析】(1)在矩形ABCD中，AB=2， AD=1，AF
9、= 3 2 ，D=90 根据轴对称的性质，得 EF=AF= 3 2 DF=AD-AF= 3 1 在DEF中DE= 22 ) 3 1 () 3 2 ( 3 3 (2)设AE与FG的交点为O 根据轴对称的性质，得AO=EO 取AD的中点M，连接MO 则MO= 2 1 DE，MODC 设DE=x， 则MO=x 2 1 在矩形ABCD中，C=D=90， AE为AED的外接圆的直径，O为圆心 延长MO交BC于点N，则ONCD CNM=180-C=90 ONBC，四边形MNCD是矩形 MN=CD=AB=2 ON=MN-MO=2-x 2 1 ， AED的外接圆与BC相切， ON是AED的外接圆的半径 OE=
10、ON=2-x 2 1 ， AE=2ON=4-x 在 RtAED中，AD 2 +DE 2 =AE 2 ， 1 2 +x 2 =(4-x) 2 解这个方程，得x= 8 15 DE= 8 15 ，OE=2-x 2 1 = 16 17 根据轴对称的性质，得AEFG FOE=D=90 FEO=AED， FEOAED DE OE AD FO = FO=AD DE OE 可得FO= 30 17 又ABCD， EFO=AGO， FEO=GAO FEOGAO FO=GO FG=2FO= 15 17 折痕FG的长是 15 17 1、如图五，在 RtABC 中，AB6cm，BC4cm，点 D 是斜边 AB 上的中点
11、，把ADC 沿着 AB 方向平移 1cm 得EFP，EP 与 FP 分别交边 BC 于 点 H 和点 G，则 GH 2、在RtABC中，C=90，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC上， 且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DFAB，则BD的长为； 3、已知：如图十，在ABC 中，ABAC15，cosA 5 4 点 M 在 AB 边上，AM2MB，点 P 是边 AC 上的一个动点，设 PAx （1）求底边 BC 的长； （2）若点 O 是 BC 的中点，联接 MP、MO、OP，设四边形 AMOP 的面积是 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并出写出 x 的取值范围； （3）把
12、MPA 沿着直线 MP 翻折后得到MPN，是否可能使MPN 的一条边（折痕边 PM 除外）与 AC 垂直？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 4、在ABC 中,AB=BC=2,ABC=120,将ABC绕点B顺时针旋转角(0120),得A1BC1，交 AC 于点 E，AC 分别交 A1C1、BC 于 D、F 两点 （1）如图，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的 结论； （2）如图，当=30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求 ED 的长 C1 A1 F E D C B A 图 C1 A1 F E D
13、C B A 图 图五 H F G ED AB C P 图十 C O P B A M 备用图 CB A M 5、如图，将正方形 ABCD 中的ABD 绕对称中心 O 旋转至GEF 的位置，EF 交 AB 于 M，GF 交 BD 于 N请猜想 BM 与 FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论 参考答案参考答案 1、 2 3 2、1 3、 （1）作 BHAC 于点 H（如图一） ， 在 RtABH 中，cosA 5 4 ，AB15， AH12 BH9 AC15 CH3 BC 2BH2CH2，BC2923290，BC3 10 （2）作 OEAB 于点 E，OFAC 于点 F（如图一） ， 点 O 是
14、BC 的中点，OEOF 2 1 BH 2 9 AM2MB，ABAC15，AM10，BM5 PAx，PC15x， y SABCSBOMSCOP 2 1 BHAC 2 1 OEBM 2 1 OFPC 2 1 915 2 1 2 9 5 5 2 1 2 9 （1515x x） 4 9 x 45 2 定义域： （0x15） （3）当 PNAC 时（如图二） ，作 MGAC 于点 G， 在 RtAMG 中，cosA 5 4 ，AM10 AG8，MG6 若点 P1在 AG 上，由折叠知：AP1M135，MP1G45 图二 G N1 C P1 B A M P2 N2 MGAC，P1GMG6，AP1AGP1G2 若点 P2在 CG 上，由折叠知：AP2M45 MGAC，P2GMG6，AP2AGP2G14 当 MNAC 时（如图三） ， 由折叠知：AMP3NMP3，P3N3AP3x，MN3MA10， P3G8x，GN34 P3N3 2P 3G 2GN 3 2，x2（8x）242，x5 综上所述，x2 或 5 或 14 时满足MPN 的一条边与 AC 垂直 4 4、 (1)证明：ABBC，AC 由旋转可知，ABBC1，AC1，ABEC1BF
