《2017_2018学年高中数学第三章导数应用3_1函数的单调性与极值3_1_1导数与函数的单调性课件北师大版选修2_2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第三章导数应用3_1函数的单调性与极值3_1_1导数与函数的单调性课件北师大版选修2_2（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1 导数与函数的单调性,导数与函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的. 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0(或f(x)0)”是“函数f(x)在该区间上是增加的(或减少的)”的充分不必要条件,而不是充要条件.,【做一做1】 函数y=xln x在区间(0,5)上是( ) A.增加的 B.减少的,解析:y=xln x+x(ln x)=ln x+1,答案:C,【做一做2】 函数f(x)=x3-x的递增区间是 ,递减区间是 .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在区
2、间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成立. ( ) (2)函数f(x)在区间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快. ( ) (3)函数f(x)=ln x+ 在(-,1)上是减少的. ( ) (4)在某个区间内有f(x)=0,则f(x)为常数函数. ( ),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,求函数的单调区间 【例1】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x4-2x2+3. (2)f(x)=2x-ln x. 分析:先求f(x),再解不等式f(x)0得递增区间,解不等式f(x)0,解得-
3、11, 函数f(x)的递增区间是(-1,0)和(1,+). 令4x(x+1)(x-1)0,解得x-1或0x1, 函数f(x)的递减区间是(-,-1)和(0,1).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f(x); (3)解不等式f(x)0(或f(x)0),得出相应的x的范围; (4)根据不等式的解集,写出相应结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1函数y=x2-4x+a的递减区间是 . 解析:y=(x2-4x+a)=2x-4,由y=2x-40得x2, 函数y=x2-4x+a的递
4、减区间是(-,2). 答案:(-,2),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练2求下列函数的单调区间:,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2)由ax-x20,得0xa,即函数的定义域为0,a.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,根据单调性求参数 【例2】 若函数f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上是减少的,在区间(6,+)上是增加的,试求实数a的取值范围.,解:(方法一)f(x)=x2-ax+a-1,令f(x)=0,解得x=1或x=a-1. 当a-11,即a2时,函数f(x)在(1,+)上是增加的,不符合题意. 当a-11,即a2时,函数
5、f(x)在(-,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,在(a-1,+)上是增加的. 依题意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+)上是增加的, 4a-16,即5a7. a的取值范围是5,7.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(方法二)f(x)=x2-ax+a-1, 由题意知f(x)0在区间(1,4)上恒成立,f(x)0在(6,+)上恒成立.,5a7.故a的取值范围为5,7. 反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的方法 (1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)利用不等式的恒成立处理:
6、f(x)在(a,b)上单调,则f(x)0或f(x)0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围是 . 解析:f(x)=3x2-k,由题意知3x2-k=0在(-3,-1)内有解,即k=3x2在(-3,-1)内有解. 又当x(-3,-1)时,3x2(3,27),k(3,27). 答案:(3,27),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练4若函数f(x)=x3-ax2+1在0,2内是减少的,求实数a的取值范围.,解:(方法一)f(x)=3x2-2ax=x(3
7、x-2a). 当a=0时,f(x)0,故y=f(x)在(-,+)上是增加的,与y=f(x)在0,2内是减少的不符,舍去.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(方法二)f(x)=3x2-2ax. 由y=f(x)在0,2内是减少的知3x2-2ax0在0,2内恒成立. 当x=0时,由3x2-2ax0在0,2内恒成立得aR. 当x0时,3x2-2ax0在0,2内恒成立,综上可知,a的取值范围是3,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,证明不等式,分析:由题目可获取以下主要信息:要证明当x0时,x- sin x和sin xx同时成立.,证明:要证明sin x0), 可先令F(x)=x
8、-sin x,于是F(0)=0, 由于F(x)=1-cos x0,所以F(x)在(0,+)上是增加的,从而有F(x)F(0)=0, 即x-sin x0,xsin x(x0).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟利用导数证明不等式的步骤 (1)构造函数:F(x)=f(x)-g(x). (2)求导:F(x)=f(x)-g(x). (3)判断函数的单调性. (4)若F(x)在区间上的最小值大于或等于0,则f(x)g(x); 若F(x)在区间上的最大值小于或等于0,则f(x)g(x).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练5已知函
9、数f(x)= +ln x,则有 ( ) A.f(2)f(e)f(3) B.f(e)f(2)f(3) C.f(3)f(e)f(2) D.f(e)f(3)f(2),f(x)0恒成立,即f(x)在(0,+)上是增加的. 又2e3,f(2)f(e)f(3).,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练6已知x1,求证:xln(1+x). 分析:构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x(1,+)上,f(x)0恒成立即可.,证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x1).,f(x)在(1,+)上是增加的. 又f(1)=1-ln 21-ln e=0, 即f(1)0,f(x)0,即x
10、ln(1+x)(x1).,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,函数与其导函数的关系 【例4】 下图是函数f(x)的导函数f(x)的图像,则下列判断中正确的是( ) A.函数f(x)在区间(-3,1)上是增加的 B.函数f(x)在区间(1,3)上是减少的 C.函数f(x)的递增区间为(-3,1),(3,+) D.函数f(x)的递增区间为(0,2),(4,+) 解析:根据f(x)的正、负判断函数f(x)的单调性,在(0,2),(4,+)上f(x)0,所以函数f(x)的递增区间是(0,2),(4,+),函数f(x)的递减区间是(-3,0),(2,4). 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四
11、,思想方法,反思感悟研究一个函数的图像与其导函数的图像之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图像在哪个区间上是增加的,哪个区间上是减少的,而对于导函数图像,则应考察导函数值在哪个区间上大于0,哪个区间上小于0,并考察这些区间与原函数的单调区间是否吻合.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练7f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能是下列选项中的( ),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析:题目所给出的是导函数的图像,导函数的图像在x轴的上方,表示导函数值大于零,原函数的图像呈上升趋势;导函数的图像
12、在x轴的下方,表示导函数值小于零,原函数的图像呈下降趋势. 当x(-,0)时,导函数图像在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图像呈上升趋势,可排除B,D两选项. 当x(0,1)时,图像在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图像呈下降趋势,可排除A选项.故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,分类讨论思想在研究函数单调性中的应用 【典例】 已知函数f(x)= (xR),其中aR,当a0时,求函数f(x)的单调区间. 分析:因为a的大小及符号不确定,所以要先求f(x),然后对a的取值进行讨论,以确定单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三
13、,探究四,思想方法,方法点睛导函数值的符号是影响函数在区间上的单调性的决定因素,在涉及含参数函数的单调性的判定、求单调区间问题时,需要分类讨论: (1)讨论导数的最高次项系数,若最高次项含参数,则需分大于0、小于0、等于0讨论.若最高次项不含参数,则不需要讨论. (2)讨论导数不等式的解集,一般情况下导函数都是二次函数,要讨论二次函数的判别式是否大于零,再讨论两根的大小,以确定不等式的解集.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解:当-1x1时,若b0,则f(x)0,函数在区间(-1,1)上是增加的.,1 2 3 4 5,1.函数f(x)=2x-sin x在(-,+)上( ) A.是增加
14、的 B.是减少的 C.在(0,+)上是增加的,在(-,0)上是减少的 D.在(0,+)上是减少的,在(-,0)上是增加的 解析:由f(x)=2-cos x0,可知f(x)在(-,+)上是增加的. 答案:A,1 2 3 4 5,2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( ),解析:由已知函数是R上的单调函数,可得y=3x2+2x+m0恒成立,判别式=4-12m0,解得m . 答案:C,1 2 3 4 5,3.若在区间(a,b)内有f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)0 B.f(x)0,且f(a)0, 函数f(x)在区间(a,b)上是增加的. f(x)f(a)0. 答案:A,1 2 3 4 5,4.函数f(x)的导函数y=f(x)的图像如图,则函数f(x)的递增区间为 . 解析:由y=f(x)的图像,可知在(-1,0)和(2,+)上,f(x)0,故f(x)的递增区间为(-1,0)和(2,+). 答案:(-1,0)和(2,+),1 2 3 4 5,5.已知函数f(x)=2ax- ,x(0,1,若f(x)在(0,1上是增加的,求a的取值范围.,g(x)max=g(1)=-1. a-1.a的取值范围是-1,+).,
