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1、第五章 三角比,5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切,5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,问题的提出,林场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情，在A处观测到火情发生在北偏西400方向，而在B处观测到火情在北偏西600方向，已知B在A的正东方向10千米处，现在要确定火场C踞A、B多远。,数学化:请将上述问题转化为数学问题,A,B,C,1300,300,a=？,b=？,10,我们学过哪类解三角形问题?,解斜三角形,一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做,三角形的元素，,元素的过程叫做解三角形.,已知三角形的几个元素求其他,
2、A,B,C,1300,300,200,a=？,b=？,10,从此题解答中,猜测斜三角形中边与角的关系? 边角关系将有助于我们解斜三角形。,A,B,C,a,b,c,研究三角形中边与角的关系：,如已知一个三角形的边长分别为a、b、c，角分别为A、B、C,研究方法： 化斜为直 方程思想,研究三角形中边与角的关系：,如已知一个三角形的边长分别为a、b、c，角分别为A、B、C,A,B,C,c,a,b,根据上述信息，请你计算三角形的面积,结论：,直角三角形的面积公式是上述公式特殊情况，几何问题代数化给我们解决问题提供了简便的途径,正弦定理的导出：,如果三角形是直角，则是三角比的特殊情况,正弦定理,三角形中
3、，,三角形面积公式,三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半,各边与它对角的正弦的比相等,正弦定理解斜三角形可解决以下两类问题： 1、已知三角形的两角和一边，求其它的边和角 2、已知三角形的两边与其中一边所对的角，求其它的角和边,解决初试问题,思考：定理结构上有什么特征，有哪些变形式？,例1.在 中，,求 和该三角形的面积.,解：,同理：,解毕,(结果保留至个位数),例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.,(1),(2),解:(1),或,(结果精确到0.01),例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.,(2),解:(2),或,(结果精确到0.01),当 时，,当 时，,解毕,利用正弦定理
4、,(I)已知两角及任一边，求其他边和角；（解唯一）,(II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.,在学全等时，我们知道已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形。 那么已知两边及其中一边的对角，是否一定能解三角形呢？ 若有解有几种可能？,可以解决以下两类解三角形问题：,先求出另一边对角正弦 sin,两组解,一组解,无解,课堂练习,1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),2.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),3.在 中，已知,试判断 的形状.,课堂练习答案,1.(1),(2),2.(1),(2),或,3.等边三角形,余弦定理,三角形任一边的
5、平方等于其他两边的平方和减去,这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.,另一种形式：,例1.在 中， 求 .,(角度精确到 ，边长精确到1),解：,解毕,例2.在 中，已知 ，求各,解:,角及其面积(精确到0.1),同理，得,解毕,课堂练习,1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),3.已知 中， ，求,2.已知三角形三边之比为 ，求最大内角.,4.在 中， 是锐角，求证：,课堂练习答案,1.(1),(2),2.,3.解：,解得,4.证：,证毕,一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做,利用余弦定理及其变形,(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；,(II)已知三边，求角.,解三角
6、形,三角形的元素，,元素的过程叫做解三角形.,可以解决以下两类解三角形问题：,已知三角形的几个元素求其他,(III)已知两边及一边的对角，求边.,第五章 三角比,5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,扩充的正弦定理,一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长,证：,(同弧所对圆周角相等),(半圆弧所对圆周角为直角),证毕,例1.在 中， ，判断,的形状.,解：根据正弦定理得,代入条件并化简得,即,或者,得 或,所以 为等腰三角形或直角三角形.,解毕,例1.在 中， ，判断,的形状.,解法二：根据余弦定理得,代入条件并化简得,所以 为等腰三角形或
7、直角三角形.,解得 或,解毕,例2.若锐角 的三边长分别是 ，,试确定 的取值范围.,解：,由两边之和大于第三边，,解得,由最大角为锐角，得,解得,综上，当 时，边长满足条件.,解毕,课堂练习,1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R.,2.三角形满足 ，判定其形状.,3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度,数.(精确到 ),4.在 中，求证：,课堂练习答案,解：,1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R.,得,2.三角形满足 ，判定其形状.,解：,得,该三角形为等腰三角形. 解毕,解毕,课堂练习答案,3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度,数.(精确到 ),解：设边长为,且,化简得,
8、且,因此,最大角余弦值为 ，,角度约为,解毕,课堂练习答案,4.在 中，求证：,证：左边=,=右边,证毕,第五章 三角比,5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,例1.设 两点在河的两岸，要测量两点之间的,距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点 ，,测出 距离 ，,求 两点间的距离(精确到 ),解：由正弦定理，得,答略 解毕,问题一 测量可视但不可达的距离,分析 根据例1 测出,再测出,解：在河岸选定两点,测得,问题一 测量可视但不可达的距离,例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,种测量 两点间距离的方法.,问题一 测量可视但不可达的
9、距离,例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,种测量 两点间距离的方法.,解：在 中，,同理在 中,解毕,问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度,例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高,的方法.,分析 根据例1的方法测出,再测出仰角,解：在河岸选定两点,测得,仰角,问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度,例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高,的方法.,解:在 中,在 中，,因此,解毕,(选用)问题三 测量角度,例4.一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行,67.5海里后到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏,东 的方向航行54.0海里后到达海岛 .如果下次,航行直接从 出发到 .此船应沿怎样的方向航行,需要航行多少距离？(精确到 0.1),(选用)问题三 测量角度,解:,(海里),在 中，由余弦定理，得,(选用)问题三 测量角度,续解:,(海里),由正弦定理，得,答略 解毕,
