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1、第一章 集合与函数概念,1.3 函数的基本性质,1.3.2 奇偶性,第二课时 函数性质习题课,规律小结 (1)判断函数单调性的步骤： 任取x1，x2R，且x1x2； 作差：f(x1)f(x2)； 变形(通分、配方、因式分解)； 判断差的符号，下结论 (2)求函数单调性要先确定函数的定义域 (3)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数 (4)复合函数yf(g(x)的单调性遵循“同增异减”的原则 (5)奇函数的性质：,图象关于原点对称； 在关于原点对称的区间上单调性相同； 若在x0处有定义，则有f(0)0. (6)偶函数的性质： 图象关于y轴对称； 在关于原点对称的区间上单调性相反；
2、f(x)f(x)f(|x|) (7)若奇函数f(x)在a，b上有最大值M，则在区间b，a上有最小值M；若偶函数f(x)在a，b上有最大值m，则在区间b，a上也有最大值m.,函数单调性的应用,思路分析 (1)如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？ (2)要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？ 解析 由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1；由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0. 分段点x1处的值应满足122a12a1a1， 解得a2.所以2a0. 答案 B,规律总结 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函
3、数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件,奇偶性的应用,答案 0 分析 逆用偶函数的定义求a. 解析 显然xR，由已知得f(x)(x)2|xa|x2|xa|，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)， 即x2|xa|x2|xa|，即|xa|xa|， 又xR，所以a0.,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性,解析 设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1)； 又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)； 于
4、是 f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数 点评 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的,规律总结 函数的单调性与奇偶性的关系 (1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反 (2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相同,解析 (1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)， f(x)在2,6上是减函数，f(5)f(3)，f(5)f(3) (2)设6x1x21，则1x2x16， f(x)在1,
5、6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10， 又f(x)为奇函数，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10， 10f(6)f(x1)f(x2)f(1)4， 即f(x)在6，1上是增函数，且最小值为10，最大值为4.,函数性质的综合应用,答案 B 规律总结 可用数形结合法求解由题意画出示意图如图所示可知选B.,分析 给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值 解析 (1)令yx，得fx(x)f(x)f(x)， f(x)f(x)f(0) 又f(00)f
6、(0)f(0)， f(0)0，f(x)f(x)0， f(x)f(x)， f(x)是奇函数,(2)任取x1，x2R，且x10， 又当x0时，f(x)0，即f(x1)f(x2)， 从而f(x)在R上是减函数,(3)f(x)在R上是减函数 f(x)在3,3上的最大值是f(3)，最小值是f(3) f(3)f(1)f(2)3f(1)3(2)6， f(3)f(3)6. 从而f(x)在区间3,3上的最大值是6，最小值是6. 规律总结 对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值,答案 A 解析 偶函数图象关于y轴对称，如果在2，1上有最大值，那么该函数在1,2上也有最大值,答案 C 解析 yf(x3)的图象可以由f(x)的图象向右平移8个单位得到，故其在(1,10)上一定为增函数,答案 C 解析 f(x)在R上为偶函数， m0. 即：f(x)x23在(3,1)上先增后减,答案 解析 根据奇函数的定义与性质一一验证即可,
