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1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点33 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015浙江高考文科T7)如图,斜线段AB与平面所成的角为60,B为斜足,平面上的动点P满足PAB=30,则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线 C.椭圆D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断.【解析】选C.由题可知,当P点运动时,在空间中满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.二、解答题2（2015四川高考文科T18)一个正方体的平面展
2、开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论（III）证明：平面【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知，在的上方，如图（II）连接，如上图因为四边形和四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面所以平面，平面又因为平面，且所以平面平面（III）连接，交点坐标如下图，取中点分别为，连接因为分别为中点所以设
3、正方体棱长为，则所以三角形为等腰三角形，所以那么又因为平面，且所以平面。ABCEFO3.(2015北京高考理科T17)(14分)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE.(2)求二面角F-AE-B的余弦值.(3)若BE平面AOC,求a的值.【解题指南】(1)要证AOEB,只需证明AO平面EBCF.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角余弦值.(3)将BE平面AOC转化为BEOC,再利用数量积为0,解出a.【解析】(1)因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO
4、EF.又因为平面AEF平面EFCB,交线EF,AO平面AEF,所以AO平面EBCF.因为BE平面EBCF,所以AOBE.ABCxFOyzE(2)取BC的中点D,连接OD.如图分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 ， ， ，设平面ABE的法向量n1=(x,y,z),则 ，令 得 ，所以 。平面AEF的法向量 。所以 。因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以余弦值为 。（3）由（1）知 。因为 ，所以 。要使平面AOC，只需 。因为 ， ，所以 ，即 ，解得（舍） 或 。4. (2015北京高考文科T18)(14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等
5、边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC.(2)求证:平面MOC平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.ABCOMV【解题指南】(1)只需证明MOVB.(2)只需证明OC平面VAB.(3)变换顶点,把C看作顶点,CO看作是高.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为OM平面MOC,VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OCAB.因为平面VAB平面ABC,交线AB,OC平面ABC,所以OC平面VAB.因为OC平面MOC,所以平面MOC平面VAB.(3)由(2)知OC为三棱锥C
6、-VAB的高,因为ACBC且AC=BC=2,所以OC=1,AB=2.因为VAB为等边三角形,所以SVAB=2=.。5.(2015广东高考理科T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG.(2)求二面角P-AD-C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE平面ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去
7、解决.【解析】（1）证明：因为 且点为的中点，所以 ，又平面平面，且平面平面，平面，所以 平面，又平面，所以；PABCDEFG（2）因为是矩形，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又、平面，所以，所以即为二面角的平面角，在中，所以即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，因为，即，所以，所以为直线与直线所成角或其补角，在中，PABCDEFG由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为6. (2015广东高考文科T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA.(2)证明:BCPD.(3)求点C到平面
8、PDA的距离.【解题指南】(1)由四边形CD是长方形可证CD,进而可证C平面D.(2)先证CCD,再证C平面DC,进而可证CD.(3)取CD的中点,连接和,先证平面CD,再设点C到平面D的距离为h,利用V三棱锥C-D=V三棱锥-CD可得h的值,即得点C到平面D的距离.【解析】(1)因为四边形CD是长方形,所以CD,因为C平面D,D平面D,所以C平面D.(2)因为四边形CD是长方形,所以CCD,因为平面DC平面CD,平面DC平面CD=CD,C平面CD,所以C平面DC,因为D平面DC,所以CD.(3)取CD的中点,连接和,因为D=C,所以CD,在RtD中, ,因为平面DC平面CD,平面DC平面CD
9、=CD,平面DC,所以平面CD,由(2)知:C平面DC,由(1)知:CD,所以D平面DC,因为D平面DC,所以DD,设点C到平面D的距离为h,因为V三棱锥C-D=V三棱锥-CD,所以13SDh=13SCD,即,所以点C到平面D的距离是.7. （2015安徽高考文科T19）如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值。【解题指南】根据三棱锥的体积公式和线面垂直关系及平行线段成比例进行解答。【解析】（1）由题意可得，由PA平面ABC ，可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA=1，所以所求三棱锥的体积为.(2)在
10、平面ABC内，过点B作BNAC,，垂足为N，在平面PAC内，过嗲按N作MN/PA交PC于点M，连接BM，由PA平面ABC知PAAC,所以，MNAC,由于,所以AC平面MBN，又平面MBN，所以ACBM,在直角三角形BAN中，AN=,所以NC=AC-AN=，由MN/PA，得=,8. (2015浙江高考理科T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E平
11、面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FBD,且A1FBD=F,连接B1F.由AE=BE=2,A1EA=A1EB=90,得A1B=A1A=4,由A1D=B1D,A1B=B1B,得A1DBB1DB,由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角,由A1D=2,A1B=4,DA1B=90,得BD=32,A1F=B1F=43,由余弦定理得 .9.(2
12、015浙江高考文科T18)如图,在三棱锥ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,AA1=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D为B1C1的中点.(1)证明:A1D平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.【解析】(1)取BC的中点E,连接A1E,DE,AE,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE,因为AB=AC,所以AEBC,故AE平面A1BC,由D,E分别是B1C1,BC的中点,得DEB1B且DE=B1B,所以DEA1A,所以四边形A1AED是平行四边形,故A1DAE,又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE,垂足为F,
13、连接BF.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以.10.(2015四川高考理科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题.(2)利用线线平行证明线面平行.(3)利用二面角的平面角的定义,作出二面角的平面角来,利用解三角形求解.【解析】(1)由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,
14、H在D的上方,如图(2)取BD中点O,连接MO,HO,则MOCD,且MO=CD,所以MOHN,且MO=HN,所以四边形MNHO为平行四边形,所以MNHO,因为HO平面BHD,MN平面BHD,所以MN平面BHD.(3)连接AC,EG,过M作MKAC,垂足在AC上,过点K作平面ABCD的垂线,交EG于点L,连接ML,则MLK就是二面角A-EG-M的平面角.因为MK平面ABCD,且AE平面ABCD,所以MKAE.又AE,AC平面AEG,所以MK平面AEG.且KL平面AEG,所以MKKL,所以三角形MKL为直角三角形,设正方体的棱长为a,则AB=BC=KL=a,所以MC=,因为MCK=45,三角形MCK为直角
