《九年级数学上册22_2一元二次方程的解法22_2_5一元二次方程的根与系数的关系教学课件新版华东师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册22_2一元二次方程的解法22_2_5一元二次方程的根与系数的关系教学课件新版华东师大版（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第22章 一元二次方程,教学目标： 知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。 过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根 之和与两根之积。 情感态度与价值观:经历观察发现猜想证明的 思维过程，培养分析和解决问题的能力。 教学重难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系。 难点：运用根与系数关系解决问题。,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,探究1： 填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是
2、 , ,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,探究2：填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。,求证：,推导:,如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数
3、、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,1.,3.,2.,4.,5.,练习：1、口答下列方程的两根之和与两根之积。,1.已知一元二次方程的 两 根分别为 ，则：,2.已知一元二次方程的 两根 分别为 ，则：,3.已知一元二次方程的 的一个根为1 ，则方程的另一根为_， m=_：,4.已知一元二次方程的 两 根分别为 -2 和 1 ，则：p =_ ; q=_,5、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,6、设 x1 、 x
4、2是方程 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值：,返回,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例题分析：,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）和的平方；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,返回,例3. 不解方程，求方程 的 两根的平方和、倒数和。,运用根与系数的关系解题,例题4：已知方程 x22x1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）,解：设方程的两根分别为 和 ， 则： 而方程的两根互为倒数 即： 所以： 得：,例5.方程 的两根互 为倒数，求k的值。,设 X1、X2是方程X24X+1
5、=0的两个根，则 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = ； ( X1-X2)2 = ；,基础练习,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另 一个根是_，m =_。 2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2X-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,（还
6、有其他解法吗？）,5. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7,6.已知一元二次方程的 的一个根为1 ，则方程的另一根为_， m=_：,7、已知方程 的一个根是 1， 求它的另一个根和m的值。,试一试,8、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,9、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16,解：,由根与系数的关系，
7、得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,解：由根与系数的关系得 X1+X2=
8、-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， 0 当k=-2时，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,2. 已知方程 的两个实数根 是 且 求k的值。,补充规律：,两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根一正一负的条件： X1X2 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,一正根， 一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X2
9、0,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,3. 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,4. 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5, 两根之积2m11 m1且0, m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0, 两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当 时，才 能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,总结归纳,请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：,
