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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题十九 平面向量的数量积及其应用考点42平面向量的数量积考场高招1 三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题1.解读高招方法解读适合题型典例指引定义法利用定义式ab=|a|b|cos 求解.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解一般通过具体的图形来确定适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题典例导引1(1)坐标法利用坐标式ab=x1x2+y1y2解题.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要建立平面直角坐标
2、系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题典例导引1(2)转化法求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,再进行计算适用于直接求解不易,而转化为其他向量的数量积的有关计算问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)(2017届山西临汾一中等五校三联)如图,在ABC中,ADAB,=3,|=1,则的值为()A.1B.2C.3D.4(2)在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则=()A.8B.10C.12D.14(3)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是()A.-B.- C.-D.-
3、(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为2,以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,2),E(,2).所以=(2,2),=(,2).所以=2+22=12.故选C.(3)(转化法)=2,r=1,|=()()=()+=+0-1=-,故选B.【答案】(1)C(2)C(3)B3.亲临考场1.(2014课标,理3)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()A.1B.2C.3D.5【答案】 A|a+b|=,(a+b)2=10,即a2+b2+2ab=10.|a-b|=,(a-b)2=6,即a2+b2-2ab=6.由可得ab=1.故选A.2.(2013课标,
4、理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.【答案】2高手解惑典题(2017四川资阳一诊)已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且满足+2+4=0,则= ()A.-B.-C.D.考生困惑：感觉所求的无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件+2+4=0通过转化得到所求的,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.解惑绝招：第一步:明确转化法分析已知条件含有三个向量,观察所求,联系到,代入所求=(),问题可以转化为求,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.第二步:借助平方技巧如何将已知+2+4=0进行转化,达到消去的目的是解题的关键.将已知变形为2=-4,借助两边平方技巧,既能达到消去
5、的目的,又能得到,胜利就在眼前!第三步:回扣条件顺利求解利用ABC的外接圆半径为1,即|=|=|=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.【解析】由+2+4=0,得2=-4,两边平方,得4+4=16.因为ABC的外接圆半径为1,所以|=|=|=1.所以4+1+4=16.所以.所以=()-1=.故选C. 考场高招2 求向量a在向量b方向上的投影的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引定义法a在b方向上的投影为|a|cos 能够明确向量夹角典例导引2(2)数量积法a在b方向上的投影为能够明确向量的数量积典例导引2(1)2.典例指引2(1)(2017辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量a,b满足|a|=1,
6、ab,则向量a-2b在向量-a方向上的投影为()A.0B.1C.2D.-1(2)圆O为ABC的外接圆,半径为2,若=2,且|=|,则向量在向量方向上的投影为【答案】 (1)D(2)3 3.亲临考场1.(2016陕西西安质检)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a(a+b),则b在a方向上的投影为()A.3B.-3C.-D.【答案】 B由a(a+b)得a(a+b)=0,即a2+ab=0,于是ab=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.2.(2017江西抚州七校联考)在RtAOB中,=0,|=,|=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若,则向量在向量方向上的投影为()A.B.1C
7、.1或D.【答案】 D因为=0,所以OAOB,|AB|=5,SOAB=ABOD=OAOB.所以OD=2.因为=|cosDEA=,所以|=.所以(2-|)|=,即|=或|=.故选D.考点43 平面向量的长度与角度 考场高招3 平面向量基本定理的应用方法1.解读高招步骤解读1由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积2分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系3根据公式cos =(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)求解这两个向量夹角的余弦值4根据两个向量夹角的范围为0,及其余弦值,求出这两个向量的夹角2.典例指引3(1)(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+
8、2b=(2,3),则cos =()A.-B.C.D.-(2)若a,b均为非零向量,且(a-2b)a,( b-2a)b,则a,b的夹角为.【答案】 (1)A(2)3.亲临考场1. (2016课标,理3)已知向量,则ABC=()A.30B.45C.60D.120【答案】 A由题意得cosABC=,所以ABC=30,故选A.2.(2017湖南郴州二测)已知a,b均为单位向量,且(2a+b)(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为()A.B.C.D.【答案】 A设向量a,b的夹角为,因为|a|=|b|=1,所以(2a+b)(a-2b)=-3ab=-3cos=-,即cos=,=.故选A.3.(2017广东
9、阶段测评)已知向量满足,|=2,|=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若=-,则向量的夹角为()A.B.C.D.考场高招4 巧用公式法、几何法求解向量的模 1.解读高招方法解读典例指引公式法利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算典例导引4(1)几何法利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,利用平面几何知识求解典例导引4(2)方法二2.典例指引4(1)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,ab=-3,则|a+2b|=.(2)若向量=(1,-3), |=|,=0,则|=3.亲临考场1. (2017课标,理13
10、)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=. 【答案】 2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos60+4|b|2=22+421+41=12,所以|a+2b|=2. 2.(2017云南大理一测)已知向量a与b的夹角为30,且|a|=,|b|=2,则|a-b|等于()A.1B. C.13D.【答案】 A因为ab=|a|b|cos=3,所以|a-b|=1.故选A.考场高招5三法(代数法、几何法、不等式法)搞定向量模的最值 1.解读高招方法解读典例指引代数法常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式,把所求的模表示成某个变量的函数,用求最值的方
11、法求解典例导引5(1)方法二、三几法一般采用坐标化思想,将所求的模赋予明显的几何含义,利用数形结合思想求解最值或者直接弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解典例导引5(1)方法一不等式法借助不等式直接求解:|a|2=aa=a20;|ab|a|b|;|a|-|b|ab|a|+|b|典例导引5(2)2.典例指引5(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则|的最大值为()A.6B.7C.8D.9(2)若平面向量a,b满足|2a-b|3,则ab的最小值是.方法二:同方法一,得|=|2|.又,所以|=|2|=|-3|=7,当且仅当POB=180时
12、取等号,故|的最大值为7.方法三:同方法一,得|=|2|.设B(cos,sin),则|2|=|2(-2,0)+(cos-2,sin)|=|(-6+cos,sin)|=7,当cos=-1,即B落在点(-1,0)处时取等号.故|的最大值为7.(2)由向量的数量积知,-|a|b|ab|a|b|a|b|-ab(当且仅当=时等号成立).由|2a-b|34|a|2-4ab+|b|299+4ab4|a|2+|b|24|a|b|-4abab-(当且仅当2|a|=|b|,=时取等号),所以ab的最小值为-.【答案】 (1)B(2)-3.亲临考场1.(2017课标,理12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平
13、面ABC内一点,则()的最小值是 ()A.-2B.-C.-D.-1所以()=2x2-2y(-y)=2x2+2-.当点P的坐标为时,()取得最小值为-,故选B.2.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,则的最小值为.【答案】=11cos120-12cos180-11cos120+12cos60=-+1=+2,当且仅当=时等号成立.故应填.考点44 平面向量的综合应用考场高招6 用向量解决平面几何问题的“三部曲” 1.解读高招步骤解读1建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如平行、垂直和距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系2.典例指引6.(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=1,则AB的长为.(2)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若=1,则的值为.方法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所
