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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题十五 三角函数的性质与应用考点32 三角函数的奇偶性、对称性、周期性考场高招1 两法(整体求解法、代入验证法)解决三角函数的对称问题解读高招方法解读适合题型典例指引整体求解法(1)求f(x)=Asin(x+)图象的对称轴,只需令x+=+k(kZ),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ),求x.(2)求f(x)=Acos(x+)图象的对称轴,只需令x+=k(kZ),求x.求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=+k(kZ),求x.(
2、3)求f(x)=Atan(x+)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=(kZ)即可填空题或解答题典例导引1(1)典例导引1(2)方法一代入验证法对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断选择题典例导引1(1)方法二典例导引1(2)方法二2.典例指引1(1)(2017四川资阳一诊)函数y=sin 2x-cos 2x的图象的一条对称轴方程为()A.x=B.x=-C.x=D.x=-(2)下列各点中,能作为函数y=tan的图象的一个对称中心坐标
3、的是()A.(0,0)B.C.(,0)D.(3)(2017河北石家庄一检)若函数f(x)=sin (2x+)+cos (2x+)(0)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-方法二:因为对称中心的横坐标使原函数无意义或函数值为0,所以当x=0时,y=tan0,(0,0)不是对称中心;当x=时,y=tan0,不是对称中心;当x=时,y=tan0,(,0)不是对称中心,当x=时,y=tan,无意义,是对称中心,故选D.(3)因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=2sin,则由题意知f=2sin=0,又00)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函
4、数的图象,则的最小值为()A.B.C.D.【解析】 (1)y=3cos(2x+)的图象关于点对称,即3cos=0,+=+k,kZ,=-+k,当k=2时,|有最小值.(2)将函数y=sin(2x+)(0)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数y=sin=sin的图象,则由+=k+(kZ),得=k+(kZ),所以的最小值为,故选C.【答案】 (1)A(2)C 3.亲临考场1.已知函数ysin x(0)在区间上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为()A. B.C. D.2已知函数f(x)cos，其中xmR且m，若f(x)的值域是，则m的最大值是_【答案】 由x，可知3x3m
5、，fcos，且fcos 1，要使f(x)的值域是，需要3m，解得m，即m的最大值是. 考点33 三角函数的单调性与最值考场高招3 求解三角函数单调性的方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引整体代入法将x+(0)看作一个整体,代入三角函数的单调区间解x的取值范围,即为所求y=sin(x+)(0)y=cos(x+)(0)y=tan(x+)(0)典例导引3(1)同增异减法对于复合函数单调区间的确定,应明确:对复合过程中的每一个函数而言,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减y=f(-x+)(0)典例导引3(2)图象法若函数的图象能够容易画出来,可利用图象的直观性迅速求解.同时注意函数的周期性
6、带有绝对值的三角函数典例导引3(3)2.典例指引3(1)(2017四川自贡一诊)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f(x),则函数f(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数y=sin的单调递减区间为;(3)函数y=|tan x|在内的单调递减区间为单调递增区间为(kZ),故选A.(2)(同增异减法)y=-sin,它的减区间是y=sin的增区间.令2k-2x-2k+,kZ,得k-xk+,kZ.故其单调减区间为,kZ.(3)(图象法)如图,观察图象可知,y=|tanx|在内的单调递减区间为.【答案】(1)A(2)(kZ)(3)
7、3.亲临考场1.(2017广东惠州二调)已知函数f(x)=sin (x+)(0,-0)的最小正周期是,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1),则函数f(x)=sin (x+)()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增2.(2017湖北荆州一检)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x-.(1)求函数f(x)图象的对称中心;(2)求f(x)在0,上的单调区间.考场高招4 灵活应用三法(图象法、换元法、几何法)搞定三角函数最值 1.解读高招方法解读适合题型典例指引图象法首先利用三角公式将原函数化简整理为y=Asin
8、(x+)+b的形式,然后借助题目中给定的x的范围,确定x+的范围,最后利用y=sin x的图象确定函数的值域求函数y=asin x+b,y=asin x+bcos x+c,y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x的最值问题典例导引4(3)换元法首先借助三角公式,把函数化成y=f(sin x)型,然后采用换元法,即令t=sin x-1,1,构造关于t的函数,然后根据具体的结构,采取相应的方法求解求函数y=asin2x+bsin x+c,y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c最值的问题典例导引4(1)几何法需分析函数解析式的结构特征,看能否转化为有几何含义的式子结
9、构,有时也可以把函数图象画出来,直接观察确定函数的值域将y=转化为斜率问题典例导引4(2)2.典例指引4(1)已知函数f(x)=cos xsin 2x,则函数f(x)的最大值为.(2)函数y=的最大值为.(3)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x,求f(x)在区间上的最大值和最小值.(2)【解析】解析式表示过A(cosx,sinx),B(3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k,则直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,=1,k=,kmax=.【答案】(1)(2)(3)【解】因为f(x)=sin2x+
10、cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,当x时,.由正弦函数y=sinx在上的图象知,当2x+,即x=时,f(x)取最大值+1;当2x+,即x=时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.3.亲临考场1.(2015安徽,理10)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是() A.f(2)f(-2)f(0) B.f(0)f(2)f(-2) C.f(-2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0,f(2)=AsinAsin4+cos40,f(-2)=Asin=-Asin4+cos4.因为f(2)-f(-2)=Asin40,所以f(2)f(-2).又f(-2)-f(0)=-Asin=-A,因为4-sin=-,即sin0,所以f(-2)f(0).综上,f(2)f(-2)0)的性质时,首先要将“x+”视为一个整体,然后结合基本初等函数y=sin x的图象与性质,去研究该函数的性质数形结合思想研究与三角函数相关零点问题、函数图象的交点问题、方程根问题时,往往需要先画出三角函数的部分图象,再进行探索分析典例导引5(2)温馨提醒在求解过程中必须注意未知数x的取值
