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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注专题8.3 圆锥曲线的综合问题（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 双曲线右支上一点（a, b）到直线l：y = x的距离则a+b= （ ）A B C或 D或2【答案】B【解析】试题分析：由题意可知成立，且，解方程组可得考点：双曲线方程及点到直线的距离2. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则A B C3 D2【答案】C【解析】考点：抛物线的定义3. 椭圆的左、右焦点
2、分别为、，则椭圆上满足的点（ ）A有2个 B有4个 C不一定存在 D一定不存在【答案】D【解析】试题分析：点P为椭圆上任一动点，当点P是短轴端点时，可求得，,即为锐角同时可知，当点P在此位置时，最大，所以不存在点P使，故选D考点：存在性问题4. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】B【解析】考点：双曲线的定义【易错点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的离心率，抛物线的定义利用抛物线的定义可求得点的横坐标，代入抛物线方程，可求得点的坐标而后利用双曲线的定义可得的值，离心率就可求得本题考查的知识点多，综合性强，以基础知识为
3、主，放在最后一个选择题的位置难度不大属于中等难度5. 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（ )A B C D【答案】B【解析】试题分析：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离等于，选B.考点：双曲线离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6. 过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.7. 【
4、2018山西两校联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C. 8. 已知点、是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】考点：1、椭圆的几何性质；2、椭圆的定义及离心率.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的几何性质、椭圆的定义及离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思
5、考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用勾股定理及椭圆的几何性质结合构造出关于的不等式，最后解出的范围的.9. 已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：设，根据抛物线的焦半径公式：，所以，代入双曲线的方程，解得：，所以，双曲线方程是，渐近线方程是考点：1双曲线方程和性质；2抛物线的定义名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题
6、，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题10. 已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是A B C D 【答案】A【解析】考点：椭圆的几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义11. 【2018山西名校联考】设双曲线的左、右焦点分别为， ， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点
7、是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 垂直于 轴，则为双曲线的通径的一半， ， 的坐标为，则 ， ，又 ，故有 在第1象限上即在右支上，则有 ，即 ，故选B.12. 【2018湖北黄冈中学一模】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为， 是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A可得c,即有由离心率公式可得由于,则有.则的取值范围为(,+).故选：A.点睛：本题主要考查椭圆和双曲线的性质，明确椭圆和双曲
8、线的定义以及性质是解题的关键；本题中还用到了三角形变得性质：三角形的两边之和大于第三边.二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 【答案】【解析】综上可得双曲线方程为.考点：双曲线的标准方程,简单几何性质.14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别是，点是的中点，若，且，则椭圆的方程为 .【答案】【解析】试题分析：由题意可得，,可得,即有,解得,可得椭圆的方程为,故答案为.考点：1、待定系数求椭圆方程；2、平面向量数量积公式.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及平面向量的数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方
9、程的一般步骤：作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求15. 已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，则点到抛物线的焦点的距离是_【答案】【解析】试题分析：建立坐标系如图所示，由题意可知由，则点到抛物线的焦点的距离是，故答案填.考点：抛物线【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其几何性质方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是，首先建立适当的坐标系，并且根据几何图形的特点，求出该等腰梯形的各个边长，进而表示出顶点的坐标，再根据点到直线的
10、距离是，即可求出，再根据抛物线的定义，即可求出点到抛物线的焦点的距离.16. 【2018湖南益阳两校联考】已知为双曲线的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率为_【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为.（）求椭圆的方程；（）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程【答案】（）；（）或【解析】试题分析：（）由题意列关于a、b、c的方程组，解方程得a、b、c的值，既得椭圆的方程；（）分两种情况讨论：当直
11、线与轴垂直时，此时不符合题意故舍掉；当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，代入椭圆方程消去得：，再由韦达定理得，从而可得直线的方程试题解析：（）由题意，解得，即：椭圆方程为 4分 （）当直线与轴垂直时，此时不符合题意故舍掉； 6分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，代入消去得： 设 ，则 8分所以 ， 11分由， 13分所以直线或 14分考点：1、椭圆的方程；2、直线被圆锥曲线所截弦长的求法；3、韦达定理18. 【2018湖南永州一模】已知动圆与圆相切，且经过点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，若为曲线上的两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）（2）当直线轴时，不成立，所以直
12、线存在斜率，设直线设，则，得， ， 又由，得联立得，（满足）所以直线的方程为19. 在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（）由题设
13、可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 12分【考点定位】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力20. 已知椭圆：（）的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆方程； （2）记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件建立参数，所满足的方程，解方程组即可求解；（2）建立的函数表达式，求函数最值即可求解.当直线斜率存在时，设直线方程为（），设，显然，异号，由得，显然，方程有实根，且，此时，由可得，当且仅当时等号成立，的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆中的最值问题.【方法点睛】求解范围问
