高中数学 诗情“数”意话教材 专题一 智者千虑有一失 例谈集合中的空集 新人教a版必修11

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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故,造成严重的人员伤亡,特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故,引起了党中央和国务院的高度关注专题一 智者千虑有一失 例谈集合中的空集 在数学解题过程中,常常因考虑不周而造成求解不全,甚至错误。而这些问题正是帮助学生澄清概念,培养思维严密性的绝好素材。正所谓“智者千虑,必有一失”,而在解决集合问题时,空集经常是那“一失”。【金题典例1】(必修1第44页复习参考题A组第4题)已知集合,集合,若,求实数的值.【错解】由题;, 或,解得;。【错题剖析】本题以方程的解为载体,考查了集合的子集概念。易忽视空集的情况,即空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。概

2、念不清造成漏解。【正解】 由题;, 当时,则,而时,;时,;综上可得;。变式1. ,且,则的取值是_.【答案】【解析】由 ,当 时, ,当时, , 所以 或,所以或,所以变式2关于x的不等式的解集为空集,求实数k的取值范围.【答案】【解析】(1)当 时,原不等式化为,为空集,符合题意; (2)当时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足: 解得,综合(1)(2)得的取值范围为.变式3.已知,若,求实数m的范围。【答案】1下列说法中,正确的是( )A空集没有子集 B空集是任何一个集合的真子集C空集的元素个数为零 D任何一个集合必有两个或两个以上的子集2下列四个集合中,是空集的是( )A BC D

3、3.,MP|P为A的子集,NQ|Q为B的子集,那么( )A. B. C. D. 4.已知集合,集合,若,实数的值为_.5.已知集合若,则的取值范围为_.6若关于x的不等式|x1|x2|a2+a+1(xR)的解集为空集,则实数a的取值范围是 7已知集合, 为实数.(1)若是空集,求的取值范围;(2)若是单元素集,求的值;(3)若中至多只有一个元素,求的取值范围.8已知:(1)若求的值;(2)若求的值.9已知集合,其中,集合.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.10已知集合A=B,试问是否存在实数a,使得AB=?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.11已知函数的值域是集合,关于的不等

4、式的解集为,集合,集合.(1)若,求实数的取值范围;(2)若,求实数的取值范围.参考答案1C【解析】A空集是任何集合的子集,即A不正确;B空集是任何一个非空集合的真子集,故B不正确; C空集不含有任何元素,故C正确;D空集只有1个子集,即D不正确故选C2D【解析】A中;B中; C中; D中3.B5.【答案】 【解析】集合,集合 若,则或即或 那么,则评注:本题正面考虑不太好想,所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想,从反面入手先解得满足 的的取值范围,再利用补集思想转回来解决了问题所以只要是出现 求参数范围的问题,我们都可以从它的对立面利用解决问题方便的原则来考虑6.【答案】(,1)(0,+

5、) 【解析】分析:根据绝对值的性质,我们可以求出|x1|x2|的最大值,结合不等式|x1|x2|a2+a+1 (xR)的解集为空集,可得|x1|x2|a2+a+1恒成立,即a2+a+1大于|x1|x2|的最大 值,解不等式可得实数a的取值范围 解:|x1|x2|=|x1|2x|x1x+2|=1 若不等式|x1|x2|a2+a+1(xR)的解集为空集, 则|x1|x2|a2+a+1恒成立,即a2+a+11 解得x1或x0,实数a的取值范围是(,1)(0,+) 反思:本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,函数恒成立问题,其中根据绝对值的性质求出不等式 左边的最值是解答的关键7.【答案】(1) (2

6、)0或1; (3)9或.【解析】分析:(1)由方程无解列,解不等式可得的取值范围;(2)按一次与二次分类讨论方程解的个数:当时, ;当时, .解方程可得的值;(3)中至多只有一个元素,就是(1)与(2)两者情况,所以取并集得的取值范围.试题解析:(1)若是空集,则只需无实数解, 显然方程显然有解,故,所以只需,即即可.当时,原方程化为解得;当时,只需.即,故所求的值为0或1;综合(1)(2)可知, 中至多有一个元素时, 的值为9或.8.【答案】(1)(2)或.9.【答案】(1) ;(2) 为或.【解析】分析:(1)求解分式不等式得到集合B,然后求解二次不等式得到集合A,最后去并集可得;(2)由

7、题意得到关于实数m的不等式组,求解不等式组可得实数的取值范围是或.解析:(1)集合 当时, ,可化为,解得,所以集合, 故 (2)方法一:(1)当时, ,不符合题意。(2)当时, .当,即时, 又因为,所以,所以 当,即时, 又因为,所以,所以 综上所述:实数的取值范围为或方法二:因为,所以对于, 恒成立. 令,则,即, 解得或,所以实数的取值范围为或 10.【答案】存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是(-4,+)【解析】方法一 假设存在实数a满足条件AB=,则有(1)当时,由ABB=,知集合A中的元素为非正数,设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系,得(2

8、)当 时 ,则有 ,解得;综上(1)、(2),知存在满足条件AB= 的实数 其取值范围是11.【答案】(1);(2).【解析】分析(1)依据题设条件先求出,再解不等式由求得 ,然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式的解集,得到实数的取值范围为.(2)依据题设条件解不等式求得,再借助,分和两种情形分类求出和,最后再整合求出实数的取值范围.解析:(1)因为,所以在区间上单调递增,所以,所以.由,可得,即,所以,所以.又因为,所以 所以,解得,所以实数的取值范围为(2)由,解得,所以因为,当,即时, ,满足;当,即时, ,所以,解得,又因为,所以, 综上所述,实数的取值范围为.反思:解答本题的第一

9、问时,先依据题设条件先求出,再解不等式由求得集合 ,然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式的解集,得到实数的取值范围为.第二问的求解依据题设条件解不等式求得,再借助分和两种情形分类求出和,最后再整合求出实数的取值范围是.在集合中有一个特殊的集合空集,而且作为初学者,空集是一个难理解的抽象的概念,同时也是在解题过程中常常容易忽略的一个知识点。1.理解空集的概念:空集:不含任何元素的集合叫做空集,记作符号我们可以举几个在数学解题中经常出现的空集的形式,比如方程、不等式无解的情况来理解空集的概念:例如方程无解;不等式的解集为空集.2.几个“相近”概念的理解:问题思考:0,0,之间有什么关系? 解:元素与集合的关系:集合与集合的关系:从以上的关系,我们可以发现:由于数字0,在人们的观念里表示“没有”,所以容易和空集的概念进行混淆,于是对上面4个概念要区分清楚:(1)0只是一个数字. (2)0是含有一个元素0的集合.(3)是不含有任何元素的集合,即空集. (4)是含有一个元素的集合.同时要注意两点:1.空集是任何集合的子集;2.空集是任何非空集合的真子集.安全生产工作怎么要求都不过份,怎么重视都不过份,安全生产无小事,安全生产责任重于泰山,抓好安全生产工作是极其重要的工作

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