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1、安全教育学习是提高员工安全防范意识的重要措施。“百日安全活动”开展以来，保卫部从自身着手对本部门所有员工开展集中安全教育培训专题12 平面向量【标题01】平行向量单位向量的概念理解不透彻忽略了一些特殊情况【习题01】给出下列命题：(1)向量与向量是共线向量，不是平行向量；(2)若向量与向量都是单位向量，则；(3)若，则四点构成平行四边形；(4)为实数，若，则与共线.其中错误的命题的序号是 .【经典错解】（1）（2）【习题01针对训练】下列命题正确的是（ ）A. 若与共线，与共线，则与也共线.B. 任意两个相等的非零向量的起点和终点是一个平行四边形的四个顶点.C. 向量与不共线，则与都是非零向量
2、.D. 有相同起点的两个非零向量不平行.【标题02】把“钝角”当作了真命题【习题02】已知直线上一点的横坐标为，则使向量与的夹角为钝角的充要条件是 .【经典错解】由题意知点的坐标为（，2），=（1，12），=（3，32）由向量与的夹角为钝角，得：=（1，12）（3，32）=（1）（3）+（12）（32）=，则向量与的夹角为钝角的充要条件是.【习题02针对训练】已知和是两个互相垂直的单位向量，且 与 的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .【标题03】向量加法和减法的三角形法则运用错误【习题03】在中，错误的式子是( ) A. B. C. D. 【经典错解】【详细正解】根据平行四边形法则知，错误的为
3、.在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如，对于选项，利用平行四边形法则结合图像可得.【习题03针对训练】如图，空间四边形中，.点 在 上，且，为的中点，则等于()A. B.C. D. 【标题04】把向量平行的充要条件记成了【习题04】已知,且,则 . 【经典错解】根据有，所以 【详细正解】根据有,可知,得【深度剖析】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了.（2），不是，可以记为“斜乘相减等于零”.，可以记为“竖乘相加等于零”.这两个公式是向量运算
4、里经常要用到的，大家要区分并记牢.【习题04针对训练】已知=（-3，2），=（-1，0），向量与垂直，则实数的值为 【标题05】求模时没有开方【习题05】已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于 .【经典错解】，所以.【详细正解】，所以.【习题05针对训练】若向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D.【标题06】对在上的投影的概念和公式理解不透彻【习题06】已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（ ）A. B. C. D.【经典错解】，所以在上的投影为，所以选择.【详细正解】在上的投影为,所以选择.【深度剖析】（1）经典错解错在对在上的投影的概念和公式理解不透彻.（2）在上的投影为，
5、由于，所以在上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零.有的同学把在上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.经典错解就是错在这里，它算出一个负值后，想象投影应该是一个非负数，所以最后取了一个正数.（3）数学是一门很严谨的自然科学，要从概念出发，利用公式进行推理，不能光凭想象.【习题06针对训练】已知，则向量在向量方向上的投影是_【标题07】向量的夹角的概念理解错误【习题07】在边长为1的等边ABC中， .【经典错解】【详细正解】【习题07针对训练】已知正的边长为1，则 【标题08】对向量的夹角的范围没有记清【习题08】已知向量满足：与垂直，且，则的夹角为 .【经典错
6、解】由已知得（）.（）=0，故，则，故与的夹角为和.【详细正解】由已知得（）.（）=0，故，则，又因为，故与的夹角为.【深度剖析】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清.（2）两个向量的夹角的范围是，不是，所以本题只有一个答案.【习题08针对训练】已知，为坐标原点.（1），求的值；（1）若，且，求与的夹角.【标题09】把向量的运算和乘法公式类比出现错误【习题09】对于非零向量，下列命题正确的是（ ）A. B. 是|C . D.【经典错解】类比乘法性质，所以选择.【详细正解】对于选项, ， ,故错误；对于B，所以错误.对于，所以错误，排除法选.故选.【习题09针对训练】已知两不共线向量则下
7、列说法不正确的是 （）A BC与的夹角等于 D与在方向上的投影相等【标题10】没有认真审题忽略了“方向相同”这个条件【习题10】已知点, ，则与向量同方向的单位向量是 .【经典错解】 设所求的向量为,所以 所以填.【详细正解】方法一：，设所求的向量为,所以但是向量和向量方向相反，所以舍去，故填方法二： ， 与向量同方向的单位向量= 【习题10针对训练】若，则与方向相反的单位向量是【标题11】对平面向量基本定理和基底没有理解清楚【习题11】下面说法中，正确的是（）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不
8、可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量和一组基底，使成立的实数对一定是唯一的A B C D【经典错解】四个命题都是正确的，故选. 【详细正解】根据平面向量基本定理知：一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基底，故错误；一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基底，故正确；零向量不可作为基底中的向量，因为零向量和任何向量都共线，故正确；对于平面内的任一向量和一组基底，使成立的实数对一定是唯一的，根据平面向量基本定理可知正确故选. 【习题11针对训练】如果是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是 .(把所有正确命题的序号都填上)若存在实数，使得，
9、则；平面内任一向量 都可以表示为，其中；不一定在平面内，其中；对于平面内任一向量，使的实数有无数对.【标题12】对于向量的相关概念公式法则理解不透彻【习题12】对任意向量，下列命题中正确的是. A若满足，且与同向，则 BC D【经典错解】选.【详细正解】对于选项,由于向量不能比较大小，故不正确；对于选项，根据三角形法则，；对于选项，所以选项错误；对于选项，根据三角形法则，选项正确.【深度剖析】（1）经典错解错在对于向量的相关概念公式法则理解不透彻. (2) ，和是与向量有关的介个重要结论，可以理解的记住.【习题12针对训练】下列命题中，正确的命题有. ； ； ； 【标题13】平行向量的概念和性
10、质理解错误【习题13】下列各命题中，真命题是. A若，则 B若，则 C长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D单位向量都相等【经典错解】由平行的传递性得选 【详细正解】对于选项,显然是错误的；对于选项,当 时，满足，但是；对于选项,单位向量不一定相等，因为它们可能方向不同.故选.【深度剖析】(1)经典错解错在平行向量的概念和性质理解错误. （2）判断向量的有关命题时，注意向量的两个要素（方向和大小）.【习题13针对训练】下列说法正确的是（ ）A共线向量的方向相同 B零向量是C长度相等的向量叫做相等向量 D共线向量是在一条直线上的向量【标题14】把“”看成了“”【习题14】已知，且向量在上的
11、投影为，则.【经典错解】由题得 【详细正解】由题得 【习题14针对训练】若向量满足，则的值为 . 【标题15】数量积的公式和运算理解不透彻【习题15】下列命题正确的是. A若，则或 B C若，则 D 【经典错解】类比实数的运算性质得选.【详细正解】对于选项,的. 对于选项, 对于选项 ，向量的数量积不满足结合律，所以是错误的. 故选.【习题15针对训练】对于非零向量，下列命题正确的是（ ）A. B. 是|C . D.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第12讲：平面向量参考答案【习题01针对训练答案】【习题01针对训练解析】因为零向量与任何向量都是共线向量，所以正确.故选.【习题04针对训练答案
12、】【习题04针对训练解析】因为所以由向量与垂直得：【习题05针对训练答案】 【习题05针对训练解析】由题意可知，而因此的最大值为，故选.【习题06针对训练答案】【习题06针对训练解析】向量在向量方向上的投影是（是，的夹角），=-4.【习题07针对训练答案】【习题07针对训练解析】由题意得题中三组向量的夹角皆为所以又，.【习题09针对训练答案】【习题09针对训练解析】，故正确；故正确；在方向上的投影为同理可得在方向上的投影也为故正确对于，两向量的夹角范围为而可以是任意角，故错误综上所述选【习题10针对训练答案】【习题10针对训练解析】与方向相反的单位向量为 ，故填【习题11针对训练答案】【习题11针对训练解析】根据平面向量基本定理可以知道正确. 对于命题，一定在平面内.对于命题，对于平面内任一向量，使的实数有且只有一对.故填.【习题12针对训练答案】【习题14针对训练答案】 【习题14针对训练解析】 故填.【习题15针对训练答案】【习题15针对训练解析】对于选项,， ,故错误；对于，所以错误；对于，所以错误，排除法选.故选.在治安防范工作中保卫部要求治安员按照“全覆盖、零容忍”的工作原则，明确责任、清晰目标，坚持对重点要害部位进行“地毯式”巡查
