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1、2 超几何分布,第二章 概 率,学习目标 1.理解超几何分布的概念. 2.掌握超几何分布的公式.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,答案 任选3人中恰有2人为男生,P(X2) .,思考1,知识点 超几何分布,X可能取哪些值?,答案,答案 0,1,2,3.,思考2,“X2”表示的试验结果是什么?P(X2)的值呢?,已知在10名学生中,有4名男生,现任选3人,用X表示选到的男生的人数.,思考3,如何求P(Xk)(k0,1,2,3)?,答案,超几何分步 一般地,设有N件产品,其中有M(MN)件次品.从中任取n(nN)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么 P(Xk)_(其中
2、k为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从参数为_的超几何分布.,梳理,N,M,n,特别提醒:(1)超几何分布,实质上就是有总数为N的两类物品,其中一类有M(MN)件,从所有物品中任取n件,则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量,它取值为k时的概率为P(Xk) (kl,l是n和M中较小的一个). (2)在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P,从而写出X的分布列.,题型探究,例1 从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,求取得次品数的分布列,并求至少取得一件次品的概率.,类型一 超几何分布概念的理
3、解,解答,解 依题意得,服从超几何分布,其中N15,M2,n3. 的可能取值为0,1,2,相应的概率依次为,所以的分布列为,解决此类问题的关键是判断所给问题是否属于超几何分布问题,而求其分布列的关键是求得P(k)的组合关系式.,反思与感悟,跟踪训练1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.现一次从中摸出5个球,若摸到4个红球1个白球的就中一等奖,求中一等奖的概率.,解答,解 若以30个球为一批产品,其中红球为不合格产品,随机抽取5个球,X表示取到的红球数,则X服从超几何分步.,所以获一等奖的概率约为2.95%.,例2 某大学志愿者
4、协会有6名男同学、4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;,解答,解 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A, 则P(A) ,,类型二 求超几何分布的分布列,解答,(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.,解 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.,其分布列为,解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布,如果满足超几何分布的条件,则直接利用超几
5、何分布概率公式求解.当然,此类题目也可通过古典概型解决.,反思与感悟,跟踪训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;,解答,解 X的所有可能值为0,1,2,,(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列.,解答,综上可知,X的分布列为,类型三 超几何分布的应用,例3 50张彩票中只有2张有奖,今从中任取n张,为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5,则n至少为多少?,解 设随机变量X表示“抽出中奖彩票的张数”,则X服从参数为N50,M2,n的超几何分布
6、,,解答,又nN,且n50,解得n15. 所以n至少为15.,利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题,其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型.在利用超几何分布的模型时,将实际问题与超几何分布的模型进行比较,认清实质,把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析.,反思与感悟,解答,跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品,其中有2箱不合格.采购方接收该批产品的条件是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率是多少?,解 从50箱产品中随机抽取5箱,用X表示“5箱中不合格产品的箱数”,则X服从参数为N50,M2,n5的超几何分布.这
7、批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格,,当堂训练,2,3,4,5,1,1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数为X B.从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出 女生的人数为X C.某射手的命中概率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,X是首次摸 出黑球时的已摸次数,答案,解析,解析 根据超几何分布的概念可得.,2,3,4,5,1,2.在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何
8、分布,其参数为 A.N15,M7,n10 B.N15,M10,n7 C.N22,M10,n7 D.N22,M7,n10,答案,解析,解析 根据超几何分布的概念可知,A正确.,3.一批产品共10件,次品率为20%,从中任取2件,则正好取到1件次品的概率是,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为,解析,解析 取出的红球个数服从参数为N100,M80,n10的超几何分布,由超几何分布的概率公式可知从中取出10个球恰有6个红球的概率为 .,答案,5.从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动.若随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的分布列及P(X2).,解答,2,3,4,5,1,解 由题意分析可知,随机变量X服从超几何分布, 其中N8,M3,n3. 随机变量X的可能取值为0,1,2,3.,2,3,4,5,1,故随机变量X的分布列为,2,3,4,5,1,规律与方法,1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,从形式上看超几何分布的模型,其产品由较明显的两部分组成. 2.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(Xk),从而列出随机变量X的分布列.,本课结束,