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1、第5章 统计推断：估计与假设检验,5.1 统计推断的含义 5.2 估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支 5.3 参数估计 5.4 点估计量的性质 5.5 统计推断：假设检验 5.6 总结,5.1 统计推断的含义,统计推断研究的是总体与来自总体的样本之间的关系。 统计推断就是通过样本的信息去推知关于总体的信息。,例：表5-1 2004年2月2日纽约股票交易市场上 28家上市公司的价格收益比数据。(样本) 假定这是一个来自NYSE上约3000家上市公司(总体)的随机样本。 能否说这28支股票的P/E值就是NYSE所有上市公司的平均的P/E值呢？,已知样本均值能否得到总体均值？,例,均值23.25
2、，方差90.13，标准差9.49,5.2 估计和假设检验：统计推断的两个孪生分支,在实际中最常见也是最重要的两类统计推断问题是：参数估计与假设检验。 参数估计是统计推断的第一步，通常通过样本来估计总体某一参数，这一估计量的取值称为参数估计值。 假设检验是指可以对某一参数的假定值进行先验判断或预期，然后利用小概率原理对其进行检验，得到接受或拒绝原假设的结论。,5.3 参数估计,根据样本信息对总体中的未知参数做出估计的过程称为参数估计问题。 估计问题有两类：点估计（point estimation）和区间估计（interval estimation）。,假定有来自某一总体X，容量为n的随机样本，可
3、将样本均值作为总体均值（期望）的估计量；样本方差作为总体方差的估计量。这就是点估计。,区间估计是指要估计出一个区间，使得这个区间包含真实参数的概率达到事先给定的置信水平(置信系数confidence coefficient) 。 概念： 置信系数confidence coefficient，置信度，置信水平，1- 称为显著水平 level of significance ，犯第一类错误的概率,一般地，假定总体X是一服从某一概率分布的随机变量，要对其参数进行估计，可以按照下面步骤进行： (1) 从总体中抽取容量为n的随机样本 (2) 寻找与待估参数有关的统计量 (3) 查表得到该统计量的置信上限
4、和置信下限 (4) 通过待估参数与统计量的关系换算得到待估参数的置信上限与置信下限。 (5)代入相应的样本值即可得具体的置信区间。,5.4 点估计量的性质,1. 线性（linearity) 2. 无偏性(unbiasedness) 3. 最小方差性（minimumvariance） 4. 有效性(efficiency) 5. 最优线性无偏估计量(BLUE) 6. 一致性(consistency) 在实践中，样本均值是度量总体均值时使用最广泛的统计量，因为样本均值满足以上统计性质。,线性 若估计量是样本观察值的线性函数，则称该估计量为线性估计量。 显然，样本均值是一个线性估计量。,无偏性 如果平
5、均而言，估计量与参数的真实值相一致，就称该估计量是无偏估计量。（如图5-3） 即当估计量的期望值等于参数值时，估计量为无偏估计量。 即,例5-1：若总体服从正态分布，从中得到一个样本容量为n的简单随机样本。则样本均值是总体真实均值的无偏估计量；如果从正态总体中重复抽取n个样本，并计算每个样本的样本均值，则平均而言，样本均值等于真实的总体均值。但需要谨慎的是，我们不能仅通过一个样本就认为计算的样本均值就一定与真实的均值相一致。,5,有效性 如果有几个估计量都是无偏估计量，我们可以考察这些估计量的方差，方差最小的估计量称为有效估计量。,5-5,最优线性无偏估计量 线性、无偏，且在所有线性无偏估计量
6、中它的方差最小。(best linear unbiased estimator, BLUE),一致性 如果随着样本容量的逐渐增大，估计量接近于参数的真实值，该供给量称为一致估计量。,5.5 统计推断：假设检验,假设检验： 假设检验是指我们可以对某一参数的假定值进行先验判断或预期，然后利用小概率原理对其进行检验，得到接受或拒绝原假设的结论。,小概率原理： 我们认为小概率事件由于发生的可能性很小，在一次试验中它几乎是不会发生的。如果发生了，说明我们的假设有问题，所以我们将拒绝原来的假设。,单边备择 单边备择 双边备择,零假设 (原假设)与备择假设：,例：,假设检验的方法 1.置信区间法,置信区间提
7、供了在某一置信度(例如95)下真实参数值的取值范围。 如果零假设成立，统计量的实现值未落入该区间，也就是说小概率事件发生了，我们拒绝零假设。,概念： 拒绝域、临界值,第一类错误和第二类错误：一个偏离,由小概率原理我们可以看出，我们的这种判断是有可能犯错误的。我们把可能犯的错误分为两类：第一类错误和第二类错误。 第一类错误：零假设是正确的，却做出拒绝零假设的判断，此为弃真错误。 第二类错误：零假设是错误的，却做出接受零假设的判断，此为取伪错误。,犯第一类错误的概率 =犯弃真错误的概率 犯第二类错误的概率 =犯取伪错误的概率,假设检验不可能完全避免这两类错误，我们只能想办法使犯错误的概率尽量减小。
8、,1-置信水平，也称显著性水平,2.显著性检验 显著性检验：在给定显著性水平下，为考察样本值的显著性而进行的假设检验。 检验是统计显著的：能够拒绝零假设，即观察到的样本值落入拒绝域。 检验是统计不显著的：不能够拒绝零假设，即观察到的样本值落入接受域。,双边检验,单边检验,单边检验,5-7,显著水平 的选择与P值,P值（概率值）也称为统计量的精确显著性水平。它可定义为拒绝零假设的最小的显著性水平。 一般规律： P值越小，越能拒绝零假设。 某一点对应的p值指的是以该值为临界点确定的拒绝域的概率。,显著性检验和F显著性检验,1. 检验,例5-4：假定随机样本来自正态总体，样本容量为31，样本方差为1
9、2。检验零假设：真实的方差为9；备择假设：真实的方差不等于9。给定显著性水平为5。,统计检验的步骤总结： 第一步：表述零假设H0和备择假设H1； 第二步：选择检验统计量； 第三步：确定检验统计量的概率分布； 第四步：选择显著性水平，即犯第一类错误的概率； 第五步：选择置信区间法或显著检验方法。,5.6 总结,置信区间法：根据检验统计量的概率分布，建立一个置信区间(也即接受域），如果该区间包括零假设值，则接受零假设，否则拒绝零假设。 显著检验法：在零假设下，得到相关统计量，并根据相应的概率分布及事先给定的显著性水平计算相应的接受域（拒绝域），根据计算得到的值是否落入接受域（拒绝域）来决定是否接受（拒绝）零假设。 如果不想事先选择显著性水平，则可依据该统计量的p值进行判断。计算该统计量取某一特殊值的概率。如果这一概率值较小，则拒绝零假设，否则，接受零假设。,
