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1、廉政文化是社会主义文化建设的重要组成部分，是在我国五千多年文明历史发展过程中形成的博大精深的中华文化，是中华民族的传统美德考点39双曲线（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.一、双曲线的定义和标准方程1双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当
2、时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在2双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1(0，c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示图1图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有ca0，cb03必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程可设为（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或（4）与双曲线(a0，b
3、0)共焦点的双曲线方程可设为（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为（6）与椭圆(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为二、双曲线的几何性质1双曲线的几何性质标准方程(a0，b0)(a0，b0)图形范围，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(c，0)，右焦点F2(c，0)下焦点F1(0，c)，上焦点F2(0，c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b渐近线离心率e2等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双
4、曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率考向一双曲线的定义和标准方程1在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用2求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=ABCD【答案】C由定义|PF1|-|PF2|=2a=22以及|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=22,|PF
5、1|=42.又|F1F2|=2c=4,cosF1PF2=.典例2设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则的面积为A42B83C24D48【答案】C1若双曲线=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.典例3已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合
6、，C1的方程为x23-y2=1，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为_.【答案】【解析】由题意得C1的焦点为(2,0),所以双曲线C2的焦点为(2,0),即c=2.而C1的一条渐近线为,其斜率,即C1的一条渐近线的倾斜角=6. 而C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C1的一条渐近线的倾斜角为,其斜率k=3,即C2的一条渐近线为,即ba=3.而a2+b2=c2,解得a=1,b=3,所以C2的方程为.典例4如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程
7、.2已知双曲线(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(,)在双曲线的右支上,且|PF1|=3|PF2|,PF1PF2=0,求双曲线的标准方程.考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.典例5设F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A4x3y=0B3x5y=0C5x4y=0D3x4y
8、=0【答案】A典例6如图,已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(F1P+F1F2)F2P=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为Ay=xBy=xCy=xDy=x【答案】B义可得,|QF1|-|QF2|=2a,故|QF1|=2a+a5=11a5.在中,由余弦定理得,整理可得4c2=5a2,所以b2a2=c2-a2a2=54-1=14,故双曲线C的渐近线方程为y=x.3已知圆（），当变化时，圆上的点与原点的最短距离是双曲线（）的离心率，则双曲线的渐近线方程为ABCD考向四双曲线的离心率1.求双曲线的离
9、心率一般有两种方法：（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,
10、则双曲线的离心率等于ABCD【答案】B典例8已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P，使得=8a,则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】(1,3又|PF1|+|F1F2|PF2|,2a+2c4a,1.由可得13.4若双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.5已知点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点,若|PF2|2|PF1|的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是.1在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=3,则动点P的集合是A两条射线B以F1,F2为焦点的双曲线C以F1,F
11、2为焦点的双曲线的一支D不存在2双曲线的渐近线方程为Ay=3xBy=3xCD3已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则a=A19B13C2D14已知点是双曲线的一个焦点，则此双曲线的离心率为ABCD5过双曲线C:的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为ABCD6已知方程和(其中ab0且ab),则它们所表示的曲线可能是7若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且是等腰三角形,则的周长为A17B16C20D16或208已知双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F
12、1,F2,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为_.9已知离心率的双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O、A两点.若的面积为1，则实数a的值为_.10已知F是双曲线的右焦点,C的右支上一点P到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点Q满足FP=PQ,则=_.11已知双曲线的渐近线与圆x2-4x+y2+2=0相交,则双曲线的离心率的取值范围是_.12已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,过点(4,-10),且点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:MF1MF2;(3)求的面积.1
13、3已知双曲线=1,P是C上的任意一点.(1)求证:点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数;(2)设点A的坐标为(5,0),求|PA|的最小值.1（2017天津理科）已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为ABCD2（2017新课标全国II理科）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为A2BCD3（2017新课标全国III理科）已知双曲线C：(a0，b0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为ABCD4（2016新课标全国I理科）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A(1,3)B(1,)C(0,3) D(0,)5（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是_6（2017北京理科）若双曲线的离心率为，则实数m=_7（2017山东理科）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_8（2017江苏）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是_9（2017新课标全国I理科）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN=60，则C的离心率为_
