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1、S 。= S , + 久 夕 1 + 兄 其中S 、 S 、 S 。分别 表示 棱台的上 、 下底面 、 截面 的面 积 . 定理 3 若平行底面 的截面分棱台的 上 、 下两部分 的体积之比为几 , 则 = 之(4) 训了合 一 二侧 S , 3 l + 义侧5 3 下两部分之 比为久 , 则 云h上(S + 亿瓦夕 一+ S 。 ) 香h下(S 。 . + 亿瓦 右 + S) 由( 1) 、 (4)得 (v / 一瓦一 侧歹 )(S , + 了瓦歹 一 + S 。 ) + 几 (了了训瓦) ( S 。 + 侧 + 万) 其中S 、 S /、 S 。分 别表示校台 一一一一一, 的 上 、
2、下底 二 久 . 今侧飞万 - 一 亿飞外 = 亏百了 久(训歹 一 侧了了) 面 、 截面的面积 . 证 明 如图 2 , 设l 、 I 、 l 。分 别 表 示 上 、 下底面及截面多边形的周长 , 因为截面 分棱台侧面积的上 、 下两部分之 比为 几 , 有 女(l , + l 。 )h上 女(l。+l)h下 (A , B , + A 。 B 凡 , )h上 (A 。 B 。 + 月B)石卞 - 二几 ( 2 ) 侧 , 石万 落+只 侧 -亏百一 .今 侧 一 了f 二 一 -一- - 一一 一 1 +乙 故定理 3得证 。 对于上述棱台的 平行于底的截面的性 质 , 若令几 = 1
3、, 则分别可得以下有趣结果 : 推理 1 若平行底面的截面分高为二等 分 , 则侧 一; 舜 -侧 S / 十 亿S h上 A A 。 _ A 。 B o一 A B 一 : 二 一一 二 一 一 h 一下 A 。 AAB 一A oB 。 由( 2) 、 (3)得 (月 。 B 。 + A , B , ) (A 。B。一 A B , ) (A oB。 +A B) (A B 一A 。 B 。 ) (3) 推论 2 2 若平行底面的截面分侧面积为 则而 则S 。 二 s , 十 足 . 二 几 二等 分 , 推论 3 若平行底面的截面分体积为二 A 。B 盖 一 A 产 B 声2 二 . ( AB
4、Z 一A 。 B若) 一 (箫) 二 卜会 = (瓷 “ 【 (珊) 一 1 1 一 1 ) 等分 , 则侧 一 砚 亿S ,吕 + 训5 3 5 0= S , + 几 S 1 + 只 , 故定理 2得证 。 t tt t 若平行底面的截面分棱台的体积的上 、 上述截面的性质不仅适合棱台 , 而且还 适台棱柱(S , = S)及棱锥(S l 二 0) 。 类似 地 , 平行于圆台 、 圆柱 、 圆锥的底的截面也 具有以上诸性质 , 其证明有兴趣的读者不妨 一试 。 任意四面体外接球半径的计算公式 (天水师专) (天水一师) 明沛建光赵武 我们知道 , 有一个也只有一个球面通过四面体的各顶点 ,
5、 这个球面称为四面体的外 接 球 。 如何利用四面体有关量去计算它的外接球半径 , 在初等几何中不 易找到有效的方法 , 为 解决这一问题 , 本文给出下面的计算公式 。 如图 (二) , 在任意四面体A BC D中 , 二面角A一BC一D平面角为 “ , 其校了;C 二 2口 , 乙BA C和乙BDC分别为0: , 0 :, 则四面体外接球半径R为 . R 二 妞 S i na 训 ( ees s :e se o : ) 2 一 ( e tg o xe tgB : +ocas ) 2 ( 1 ) 证明分情况讨论 。 (一)8 : , 6 2均为 锐角 . 如图 (二)所示 , O : 、 O
6、 : 分别为A BC及BC D的外接圆回心 , 过 O : 、 0 2分别作A B C及BC D所在平面的垂线 , 得交点O , 则O为四面 体A BC 刀的外接球球心 . (注1) 设直线0 0 : 、 0 0 : 确定的平面为二 , 二与棱B C相交于点E , 则由 B C上 二可知, BC上O : E , BC工O : E , 从而可知乙O : E O : 是二面角 A一BC一刀的平面角 。 由O : 是ABC的外接圆 圆心 , O : E土BC , 可知E是BC的中点 。 , 在二平面的四边形0 0 : E O : 中 , 因0 0 : _ LEO :, 00 : 上E O : , 可
7、知O 、 O : 、 E 、 O : 四点共圆 。 设A B C的外接圆半径为丫 :, BCD的外接圆半径为了 :, 由 B C = Za得BE = =a, 从而 O : E Z= 丫: 名一a“, O : E = =了: 2一a . 如图(三)所示 , 在圆内接四边形00 : EO : 中 , 因为乙EO : O = 9 0 , 形O : E O : O的外接圆直径 。 因此乙O : E O : =a , 由余弦定理得 : 0 x o : = = O 一E:+ O : E Z一 ZO I E O : E e o sa D 一 不 /图 “ 取 dl 士 - - - 叮又u 可知O E为四边
8、= 丫一 1 + 了: 一 Za 念一 2侧(丫: 一a )(了 :一a ) c os a 又由正弦定理得 : O E : = O , O圣 1 _ , . _ . 二1二1 .吧 甲= 花几二1 一, .T 二一宁Tl OIU一口百In 一 a ,一 Za 忿一 2了行了几云 1 图三 又 刃百币 c08a 设四面体A BCD的外接球半径O C = R , 又因00麦 二 O E 之一 O : E 盆得: R “= = 0 0盖 + 了受 = OE 艺一 O : E : +了盆 1 Sin 名a 叶 + 帷 一 。一。 o c s a一 2亿而下获石F 丙 c“ )a . (2) 将丫 :
9、二 a sin 6 - 了名二 sin s : 代入( 2) 式得 八, O sR Z= I l a . a 一, ,-一二一. 一 -丁 - -二二,- 十 - 一 , 一一 二气二 一 a 一 一 a 一 sin a、sin 口1 5主n 沙: a1 d : eos竺a一 Za 之 。 eo s夕. sin o l eos夕: sin 6 : a艺 = 面砂万 ai 一面五牙 a2 一sin Za ( e s e 2 0: +eseZ口:一 1 一eosZa一Zets夕r 一 etg夕: eo sa ) c s eZ口:+ es e: B: 一i+ctg全口:etg26:一 ( e ts口
10、 : etg 6 :+ c osa ) 2 ( e s e 6 :es e s : ) 盆一 ( etgB:etgB:+ co s a ) “ 。 将 (3) 式两边同时开平方得 : R = a S in 口 斌( es e o :e s e o : ) “ 一 ( etgs:etgs : + co sa ) 名 (二) 口 : , 8 : 不同为锐角 , (1)式仍然成立 , 限于篇幅 , 只就0 : 90 “, 0: 90 。, 0 2 90 。, 可得 : 图四 a sin o x sin B: 代入 (4)式 一etgs一etg口: , 0 : 1时 是双曲线, e = 1时 是抛 物
11、线 。 e称为离心率 。 建立如图( 1)l : (1 一e恶)x Z + 夕2 一 ZP e Z戈 一 P ZeZ二 0 ( 1 ) 若过焦点F的弦所在直线的倾角为 口 , 与 曲线的交点为A 、 B , 设 : AF FB = 久 ( 之沪0 , 一 1) ( 2 ) 则有下面定理 : 定理 1 焦点弦倾角的余弦的平方等 : 户 工 1_ 一王匕 e : L (1+几) 名 J 证明设焦点弦A B所在直线方程为 : 劣二tC O S口 夕“tsina ( t为参数) (3) 的直角坐标系 , 设 焦点到准线l的距 离FK! = P , 则 它们的统 一 方程 为 : 月 、 B两点对应的参数分别为t , 、 t 2 . 参数, 的 几何意义是以F为起点的有向线段数量 . 若久 0 , 即点F内分A B , t : 、 t: 异号 , 不妨设 t: 0 , t: O 。 由( 2)A F = 久F B , 于是t : = 一 七 : 。 显然 , 的对称点 又=1时 , A 、 B两点是关于 x 轴 “ 号 (4)
