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1、深入理解课文，了解孙中山，了解“布衣”与总统的关系，了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现，体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。考点46 几何概型一、 知识储备汇总与命题规律展望1. 知识储备汇总:(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型(2)特点：无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布(3)几何概型的概率公式：P(A)2. 命题规律展望：几何概型是高考考查的重点与热点，以函数、不等式、数列、定积分等知识为载体，主要考查利用集合概型知识求几何概型的概率
2、，题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为基础题或中档题.二、题型与相关高考题解读1.与长度(角度)有关的几何概型1.1考题展示与解读例1 【2016高考新课标2文数】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【命题意图探究】本题主要考查与长度有关的几何概型问题，是基础题.【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法
3、是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若正方形边长为为四边上任意一点，则的长度大于的概率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设分别为或靠近点的四等分点，则当在线段 上时， 的长度大于， 所能取到点的长度为， 正方形的周长为， 的长度大于，的概率等于，故选D.【变式2：改编结论】在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆
4、的概率是，故选D.【变式3：改编问法】已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的封闭平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B2. 与面积有关的几何概型2.1考题展示与解读例2【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是AB CD【命题意图探究】本题主要考查利用几何图形的对称性计算几何概型，是基础题.【答案】B【解题能力要求】数形结合思想，运算求解能力【方法技巧归纳】求解与面积有关的
5、几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为，选D。【变式2：改编结论】如图，在菱形中， ， ，以4个顶点
6、为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为，则圆周率的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【变式3：改编问法】2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额元为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为22mm，得半径r=11mm，则圆形金质纪念币的面积为r2=112=121，估计军旗的面积大约是，故选B.3. 与体积
7、有关的几何概型3.1考题展示与解读例3 在棱长为的正方体中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为()A. B. C. D. 【命题意图探究】本题主要考查正方体的体积与球体体积的计算及几何概型，是基础题.【答案】A【解析】符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得P=.故选A.【解题能力要求】空间想象能力，运算求解能力【方法技巧归纳】求解与体积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何体的体积，必要时可根据题意构造三个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的空间几何体，以便求解3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】一个球形容器的半径为，里面装
8、满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意,球的体积为，由几何概型公式可得从中任取水(体积为1),含有感冒病毒的概率为；故选C.【变式2：改编结论】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【变式3：改编问法】已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M ABCD的体积小于的概率为_【答案】【解析】正方体的棱长为正方体体积，当四棱锥的体积小于时，设它的高为，则，解之得，则点在到平面的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，求得使得四
9、棱锥的体积小于的长方体的体积四棱锥的体积小于的概率，故答案为.4. 几何概型与其他知识的交汇4.1考题展示与解读例4【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 【命题意图探究】本题主要考查直线与圆的位置关系、几何概型，是中档题.【答案】【解题能力要求】化归与转换思想、运算求解能力【方法技巧归纳】与其他知识交汇的几何概型问题，先用相关知识计算出满足条件的长度或面积或体积，再利用几何概型公式计算其概率.4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知， 是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（ ）A. B. C. D. 【答
10、案】A【解析】， 是上的两个随机数，则可由平面直角坐标系中点所确定的正方形表示所有满足题意的点组成概率空间，考查如下轨迹方程问题： 到点的距离等于其到直线的距离，由抛物线的定义可得，轨迹方程为，则满足题意的点位于如图所示的阴影区域，对求解定积分可得其面积为： ，据此可得，满足题意的概率值为，故选A.【变式2：改编结论】已知是所在平面内一点， ，现在内任取一点，则该点落在内的概率是_【答案】【解析】如图：，可得,所以点到的距离是点到的距离的， .【变式3：改编问法】设是由轴，直线 和曲线围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是( )A. B. C.
11、D. 【答案】D【解析】根据题意，区域即边长为1的正方形的面积为11=1，区域A即曲边三角形的面积为，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可得，故选D3、 课本试题探源必修3 P142页习题3.3 B第1题：甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.四典例高考试题演练1.【广东省化州市2018届第二次模拟】如图，正方形内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C.
12、D. 【答案】C【解析】 设正方形的边长为，则正方形的面积，则圆的半径为，阴影部分的面积为，根据几何概型及其概率的计算公式可得，故选C.2.【广西柳州高中、南宁市二中2018届第二次联考】老师计算在晚修19:00-20:00解答同学甲乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设19:00-20:00对应时刻，甲乙的问问题的时刻为，则，两人独自去时不需要等待满足 ，概率为 ，选B.3.【四川省南充高中2018届三检】若， ，则方程有实数根的概率为（ ）A. B.
13、C. D. 【答案】B4.【广西桂林市十八中2018届第三次月考】若在上任取实数，则的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ，的概率为，故选：A.5.【辽宁省沈阳市交联体2018届上学期期中】设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】平面区域为边长为1的正方形区域，面积为1,平面区域点到坐标原点的距离大于1的区域的面积为：1,点到坐标原点的距离大于1的概率是。6.【湖南师大附中2018届11月考】在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】
14、A7.【黑龙江省齐齐哈尔市八中2018届9月考】矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 ()A. 16 B. 16.32 C. 16.34 D. 15.96【答案】B【解析】设阴影部分的面积为 ，则由几何概型概率公式可得 即 ,故选B.8.【广东省揭阳市第三中学2018届10月考】在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为A. B. 2 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由题意结合几何概型可得： ，解得： .故选C.9.【2018届河南三门峡市一高11月考】在平面直角坐标系中，记抛物线与轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线（）所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析:因区域的面积,由可得交点的横坐标，而区域的面积，由题设
