《高考数学 玩转压轴题 专题3_14 探究图形之性质代数运算是利器1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学 玩转压轴题 专题3_14 探究图形之性质代数运算是利器1(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、深入理解课文,了解孙中山,了解“布衣”与总统的关系,了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现,体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。专题3.14 探究图形之性质代数运算是利器【题型综述】探究图形之性质问题解题策略:(1)“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在,用向量或平面几何知识,转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式,利用设而不求思想,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则某性质图形存在存在;否则,元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 面积计算例1 【2016高考上海理数】(本题满分14) 有一
2、块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图(1) 求菜地内的分界线的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为,所以五边形面积更接近于
3、面积的“经验值”类型二 四边形形状探究例2. 【2015高考新课标2,理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为 ()证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;()若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由 解得,因为,所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形类型三 探究角是否相等例3【2015高考北京,理19】已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点()求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);()设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由 ),则,存
4、在点使得.类型四 探究两直线的位置关系例4.【2017课标3,文20】在直角坐标系xOy中,曲线与x轴交于A,B两点,点C的坐标为.当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【扩展链接】1.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角;2.给出,等于已知是的平分线;3.在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;4.在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;5.已知抛物线方程为,定点M,直线过点M交抛物线于A,B两点,则有 ;【同步训练】1已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0
5、,y0)是坐标平面内一点,且(O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程;(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点,在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由【思路点拨】(1)设出P的坐标,利用|OP|的值求得x0和y0的关系式,同时利用求得x0和y0的另一关系式,进而求得c,通过椭圆的离心率求得a,最后利用a,b和c的关系求得b,则椭圆的方程可得(2)设出直线l的方程,与椭圆方程联立消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,假设在y轴上存在定点M(0,m),满足题设,则可表示出,利用=0求得m
6、的值假设在y轴上存在定点M(0,m),满足题设,则=由假设得对于任意的恒成立,即解得m=1因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,点M的坐标为(0,1)2.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为F1(2,0),点B(2,)在椭圆C上,直线y=kx(k0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N;(1)求椭圆C的方程;(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标,若不经过,请说明理由【思路点拨】(1)由题意可设椭圆标准方程,结合已知及隐含条件列关于a,b,c的方程组,求解方程组得到a2,b2的值,则椭圆方程可求;(2)设
7、F(x0,y0),E(x0,y0),写出AE、AF所在直线方程,求出M、N的坐标,得到以MN为直径的圆的方程,由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点(2,0) AE所在直线方程为,取x=0,得y=,M(0,)则以MN为直径的圆的圆心坐标为(0,),半径r=, 3.已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,F1、F2是椭圆的左、右焦点,过F2作直线l交椭圆于A、B两点,若F1AB的周长为8(1)求椭圆的方程;(2)若直线l的斜率不为0,且它的中垂线与y轴交于Q,求Q的纵坐标的范围;(3)是否在x轴上存在点M(m,0),使得x轴平分AMB?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)由椭圆
8、的性质可知:4a=8,e=及b2=a2c2,即可求得a和b的值,即可求得椭圆的方程;(2)当k不存在时,Q为原点,y0=0,当k存在时,将直线方程代入椭圆方程,求得关于x的一元二次方程,利用韦达定理求得x1+x2及x1x2,根据中点坐标公式,求得P点坐标,求得直线PQ方程,令x=0,yQ=,0)(0,即可求得Q的纵坐标的范围;(3)假设存在m,由x轴平分AMB可得,+=0,由()可知,代入即可求得m的值【详细解析】(1)由椭圆的性质可知:4a=8,a=2,e=,c=1,b2=a2c2=41=3,b=,椭圆的方程;(3)存在m=4,假设存在m,由x轴平分AMB可得,kMA+kMB=0,即+=0,
9、k(x11)(x2m)+k(x21)(x1m)=0,2x1x2(m+1)(x1+x2)+2m=0,8k2248k2m8k2+6m+8mk2=0,解得:m=44.已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q(1)求动点Q的轨迹的方程;(2)若直线y=k(x1)与(1)中的轨迹交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有OTS=OTR?说明理由【思路点拨】(1)连结QF,运用垂直平分线定理可得,|QP|=|QF|,可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|=2,由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程;(2)假
10、设存在T(t,0)满足OTS=OTR设R(x1,y1),S(x2,y2),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,由直线的斜率之和为0,化简整理,即可得到存在T(4,0)(2)假设存在T(t,0)满足OTS=OTR设R(x1,y1),S(x2,y2)联立,得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,由韦达定理有,其中0恒成立,由OTS=OTR(显然TS,TR的斜率存在),故kTS+kTR=0即,由R,S两点在直线y=k(x1)上,故y1=k(x11),y2=k(x21)代入得,即有2x1x2(t+1)(x1+x2)+2t=0,将代入,即有:,要使得与k的取值无关,当且仅当“t=4
11、“时成立,综上所述存在T(4,0),使得当k变化时,总有OTS=OTR5.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆(ab0)的离心率是e,定义直线y=为椭圆的“类准线”,已知椭圆C的“类准线”方程为y=,长轴长为4(1)求椭圆C的方程;(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O:x2+y2=3的切线l,过点O且垂直于OP的直线l交于点A,问点A是否在椭圆C上?证明你的结论【思路点拨】(1)由题意列关于a,b,c的方程,联立方程组求得a2=4,b2=3,c2=1,则椭圆方程可求;(2)设P(x0,2)(x00),当x0=时和x0=时,求出A的坐标,代入椭圆方程验证知,A在椭圆上,当x
12、0时,求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点,写出该交点与P点的连线所在直线方程,由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线,从而说明点A在椭圆C上 PA1所在直线方程为(2+x0)x(x06)yx0212=0此时原点O到该直线的距离d=,说明A点在椭圆C上;同理说明另一种情况的A也在椭圆C上综上可得,点A在椭圆C上 另解:设切点为(x0,y0),由圆上一点的切线方程可得切线l的方程为x0x+y0y=3,代入y=2,可得x=,即有P(,2),kOP=,与OP垂直的直线,且过O的直线为y=x,代入x0x+y0y=3,结合x02+y02=3,可得x=,y=,即为A(,),由3()2+4()
13、2=12,则点A在椭圆C上6.已知椭圆E过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=,F1AF2的平分线所在直线为l(1)求椭圆E的方程;(2)设l与x轴的交点为Q,求点Q的坐标及直线l的方程;(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由【思路点拨】(1)设出椭圆方程,根据椭圆E经过点A(2,3),离心率,建立方程组,求得几何量,即可得到椭圆E的方程;(2)求得AF1方程、AF2方程,利用角平分线性质,即可求得F1AF2的平分线所在直线l的方程;(3)假设存在B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称,设出直线BC方程代入
14、椭圆E的方程,求得BC中点代入直线2xy1=0上,即可得到结论 7.)如图,已知F1、F2是椭圆G:的左、右焦点,直线l:y=k(x+1)经过左焦点F1,且与椭圆G交于A、B两点,ABF2的周长为(1)求椭圆G的标准方程;(2)是否存在直线l,使得ABF2为等腰直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由【思路点拨】(1)由题意可知:c=1,4a=4,b2=a2c2=31=2即可求得椭圆方程;(2)分类讨论,假设|AF2|=|BF2|,利用作差法,即可求得x1+x2=6(与x1,x2,x1+x226,矛盾),将直线方程代入椭圆方程由韦达定理:=6,矛盾故|AF2|BF2|再证明A
15、B不可能为等腰直角三角形的直角腰由勾股定理得:,此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形(2)不存在理由如下:先用反证法证明AB不可能为底边,即|AF2|BF2|由题意知F2(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),假设|AF2|=|BF2|,则,又,代入上式,消去,得:(x1x2)(x1+x26)=0因为直线l斜率存在,所以直线l不垂直于x轴,所以x1x2,故x1+x2=6(与x1,x2,x1+x226,矛盾)联立方程,得:(3k2+2)x2+6k2x+3k26=0,所以=6,矛盾故|AF2|BF2|再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰假设ABF2为等腰直角三角形,不妨设A为直角顶点设|AF1|=m,则,在AF1F2中,由勾