《高考数学 玩转压轴题 专题3_14 探究图形之性质代数运算是利器1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 玩转压轴题 专题3_14 探究图形之性质代数运算是利器1（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、深入理解课文，了解孙中山，了解“布衣”与总统的关系，了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现，体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。专题3.14 探究图形之性质代数运算是利器【题型综述】探究图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一 面积计算例1 【2016高考上海理数】（本题满分14） 有一
2、块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1） 求菜地内的分界线的方程（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于
3、面积的“经验值”类型二 四边形形状探究例2. 【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由 解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形类型三 探究角是否相等例3【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由 ），则，存
4、在点使得.类型四 探究两直线的位置关系例4.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【扩展链接】1.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；2.给出,等于已知是的平分线；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;5.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，则有 ；【同步训练】1已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0
5、，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m
6、的值假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则=由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由【思路点拨】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设
7、F（x0，y0），E（x0，y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（2，0） AE所在直线方程为，取x=0，得y=，M（0，）则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=， 3.已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若F1AB的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（3）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由椭圆
8、的性质可知：4a=8，e=及b2=a2c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，yQ=，0）（0，即可求得Q的纵坐标的范围；（3）假设存在m，由x轴平分AMB可得，+=0，由（）可知，代入即可求得m的值【详细解析】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e=，c=1，b2=a2c2=41=3，b=，椭圆的方程；（3）存在m=4，假设存在m，由x轴平分AMB可得，kMA+kMB=0，即+=0，
9、k（x11）（x2m）+k（x21）（x1m）=0，2x1x2（m+1）（x1+x2）+2m=0，8k2248k2m8k2+6m+8mk2=0，解得：m=44.已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）若直线y=k（x1）与（1）中的轨迹交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有OTS=OTR？说明理由【思路点拨】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假
10、设存在T（t，0）满足OTS=OTR设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）（2）假设存在T（t，0）满足OTS=OTR设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由韦达定理有，其中0恒成立，由OTS=OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR=0即，由R，S两点在直线y=k（x1）上，故y1=k（x11），y2=k（x21）代入得，即有2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t=0，将代入，即有：，要使得与k的取值无关，当且仅当“t=4
11、“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有OTS=OTR5.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（ab0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论【思路点拨】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x00），当x0=时和x0=时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x
12、0时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上 PA1所在直线方程为（2+x0）x（x06）yx0212=0此时原点O到该直线的距离d=，说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上综上可得，点A在椭圆C上 另解：设切点为（x0，y0），由圆上一点的切线方程可得切线l的方程为x0x+y0y=3，代入y=2，可得x=，即有P（，2），kOP=，与OP垂直的直线，且过O的直线为y=x，代入x0x+y0y=3，结合x02+y02=3，可得x=，y=，即为A（，），由3（）2+4（）
13、2=12，则点A在椭圆C上6.已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，F1AF2的平分线所在直线为l（1）求椭圆E的方程；（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入
14、椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2xy1=0上，即可得到结论 7.）如图，已知F1、F2是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，ABF2的周长为（1）求椭圆G的标准方程；（2）是否存在直线l，使得ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由题意可知：c=1，4a=4，b2=a2c2=31=2即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6（与x1，x2，x1+x226，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾故|AF2|BF2|再证明A
15、B不可能为等腰直角三角形的直角腰由勾股定理得：，此方程无解故不存在这样的等腰直角三角形（2）不存在理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|BF2|由题意知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设|AF2|=|BF2|，则，又，代入上式，消去，得：（x1x2）（x1+x26）=0因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1x2，故x1+x2=6（与x1，x2，x1+x226，矛盾）联立方程，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k26=0，所以=6，矛盾故|AF2|BF2|再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰假设ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点设|AF1|=m，则，在AF1F2中，由勾
