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1、深入理解课文,了解孙中山,了解“布衣”与总统的关系,了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现,体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。专题03 函数性质灵活应用一陷阱描述1.概念类陷阱,包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容,要深刻理解这几个概念的内涵。(1)利用两个特值证明单调性。函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且,若则函数是增函数;若则函数是减函数。(2)单调区间的开闭。求函数的单调区间时,如果在端点处有定义为闭,如果在端点处没有定义为开。(3)单调区间使用“”符号。函数的单调区间有多个时,不能用“”符号,只能用“和”“,”连接。分
2、类讨论陷阱,含参数的讨论问题。在处理含参数函数单调性问题时,讨论时要做到不重不漏。隐含条件陷阱,求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。等价转化陷阱,分段函数的连接点。在处理分段函数单调性时,注意连接点函数值。迷惑性陷阱,函数的主变元问题。给出含和其它字母的不等式中,如果已知其它字母的范围求的范围时,往往是把那个字母作为自变量。2.定义域限制陷阱3.利用性质解决抽象函数问题4.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用5.函数性质与导数综合6.数形结合求参数7.恒成立求参数8 .单调性求参数,区间的开闭(概念类)9 分段函数的连接点(等价转化)10主变元问题(迷惑性)二陷阱例题分析及训练1 特
3、殊函数值(概念类)【例1】已知奇函数对任意,总有,且当时,.求证:是上的减函数;【陷阱提示】直接由,判断在上为单调递减函数.【防错良方】本题容易由两个特殊函数值直接得到函数的单调性,不符合函数单调性定义,证明或判断函数的单调性必须从单调性定义出发. 2.定义域限制陷阱例2. 已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时, 在上是增函数,且恒大于零,即 当时, 在上是减函数,且恒大于零,即 ,因此选A.防陷阱措施:函数在区间上单调隐含着这个区间是函数的定义域的子集条件.练习1.已知函数 的图象如图所示,则满足的关系是( )A. B. C. D. 【
4、答案】A练习2. 已知函数(且)在上单调递增,且 ,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a0,且a1)在R上单调递增,而函数t=2x+b-1是R上的增函数,故有a1再根据t0恒成立可得b1又2a+b4,1b2,2a3,1a, 则的取值范围为故选D练习3. 已知函数在区间上为减函数,则实数的取值集合是_【答案】1【解析】由题意得 实数的取值集合是1练习4.设函数,则的单调递增区间为_【答案】练习4.函数的单调递减区间为( )A B C D【解析】:要使函数有意义,则,即设,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减函数,在定义域
5、上为单调递增函数,根据复合函数的单调性之间的关系可知,当时,函数单调递增,即函数的递增区间为当时,函数单调递减,即函数的递减区间为,所以选A.【陷阱提示】求单调区间必须在定义域范围求.【防错良方】本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数,因此,根据对数函数的定义,首先求函数的定义域,即令,解得.然后求得内部函数的对称轴为,该函数左减右增,根据复合函数单调性同增异减,得到函数的减区间,注意及其容易忽视函数的定义域而选C. 练习5.已知是定义在上的增函数,且,则的取值范围( )A. B. C. D.【解析】:根据函数的定义域和单调性,有,解得.【答案】B【陷阱提示】抽象函数问题必须首先考虑它的定
6、义域.【防错良方】本题是一个抽象函数,利用函数单调性求的取值范围的题目,必须先考虑,在满足定义域的前提下再进行求解.本题及其容易忽视定义域,直接利用单调性得到选项C这是严重的错误.3.利用性质解决抽象函数问题例3.若定义在上的函数满足:对任意的,都有,且当时, ,则 ( )A. 是奇函数,且在上是增函数 B. 是奇函数,且在上是减函数C. 是奇函数,但在上不是单调函数 D. 无法确定的单调性和奇偶性【答案】B设,则,由于,所以,故,所以函数在上是减函数。选B。防陷阱措施:对于抽象函数问题解题方法是利用函数的单调性、奇偶性等解题练习1.已知函数在区间上为增函数,且是上的偶函数,若,则实数的取值范
7、围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】是上的偶函数函数关于轴对称,又函数在区间上为增函数, ,或即,或3实数的取值范围是故选:D。练习2. 已知是区间-3,3上的单调函数,且对满足,若,则的最大值为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C练习3. 定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则( )A. B. C. D. 【答案】A4.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用例4. 已知函数的定义域为的奇函数,当时, ,且, ,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】的定义域为的奇函数,即,把x换成x-2,可得: ,又,故函数周期为T=4,又,当时, , 【防陷阱措
8、施】抽象函数的周期性:(1)若,则函数周期为T;(2)若,则函数周期为(3)若,则函数的周期为;(4)若,则函数的周期为.练习1. 已知偶函数与奇函数的定义域都是,它们在上的图象如图所示,则使关于的不等式成立的的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C练习2. 已知函数是定义域为的偶函数,且,若在上是减函数,记, , ,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】,函数是周期为2的周期函数;为偶函数, 在上是减函数,在上单调递增,并且, , ,故选A.练习3.已知是定义在上的偶函数,并且,当时, ,则的值为_. 【答案】3【解析】由,得,所以是周期为4的周期函数.又是定义在上的
9、偶函数,所以.所以.5.函数性质与导数综合例5. 定义在上的函数与其导函数满足,则下列不等式一定成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】A防陷阱措施:构造函数并使用函数的极值、单调性解题练习1.已知定义在非零实数集上的函数满足: ,且, , ,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】令,则,所以函数是定义域上的减函数,即,故选A.练习2. 已知是定义在R上的偶函数,其导函数,若,且, ,则不等式的解集为_【答案】【解析】根据题意,设 ,其导数 又由,则,函数在上为减函数,又由 是定义在R上的偶函数,且,则有,6.数形结合求参数例6. 当时,不等式(其中且)恒成立,则的取值范围
10、为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出函数y=x2与y=loga(x+1)的图象如图,要使当x(0,1)时,不等式x2loga(x+1)恒成立,则a1且loga(1+1)=loga21,解得1a2a的取值范围为(1,2故选:D防陷阱措施:准确画出函数图象,利用图象和性质解题,尤其是分段函数问题一定要数形结合练习1.函数的对称中心为_【答案】【解析】,设对称中心为,则有,则,则,所以,即,解得,所以对称中心为。7.恒成立求参数例7. 已知对任意的恒成立,则的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】A防陷阱措施:恒成立即存在性问题一定要从函数的最值考虑练习1.已知幂函数,若,
11、则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】幂函数的定义域为x|x0,在(0,+)上单调递减若f(a+1)f(10-2a),则解得3a5,即a的取值范围是(3,5)故选C:练习2.已知函数,若,则实数的取值范围是_【答案】(1,3)【解析】由题意得为单调递增函数,且为奇函数,所以点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内陷阱8 单调性求参数,区间的开闭(概念类)【例8】若函数在区间上单调,则实数的取值范围为( )A B C. D【陷阱提示】对称轴所在范围含端点.练
12、习1若函数满足对任意,都有成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意得为单调递增函数,所以 点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.练习2若函数是上的单调函数,则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为,是开口向下的二次函数,故只能是在上单减,故要求整个函数在R上都是减的,每一段都是减的,则要求,故答案为: 。练习3函数在区间内单调递减,则的取值
13、范围是_【答案】由韦达定理,知x1+x2= x1x2=-1,解得 则在A左边和B右边的部分g(x)0 又知g(x)在递减,即g(x)在上小于等于0,x1即:解得, a的取值范围是故答案为练习4. 已知是上的增函数,那么的取值范围是_【答案】【解析】因为是上的增函数,所以 故答案为【防错良方】在取值范围问题上,必须考查是否含有端点,方法是让变量取端点,然后考查是否符合题意,这个题目很容易选D.陷阱9 分段函数的连接点(等价转化)【例9】函数(且)是上的增函数,则的取值范围是( )A B C D【解析】:由于函数为是增函数,所以,解得.【答案】D【陷阱提示】必须考虑连接点处的函数值.【防错良方】本题考查分段函数图象与性质.由于分段函数在上单调递增,所以首先在每一段上是增函数,一次函数斜率要大于零,对数函数底数要大于,即;还需要满足的是在区间的分段点的函数值,左边函数值要不大于右边函数值,即,由此解得的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增,是不能说在上递增的.陷阱10主变元问题(迷惑性)【例10】已知对任意的不等式恒成立,