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1、深入理解课文,了解孙中山,了解“布衣”与总统的关系,了解布衣总统的来历及其布衣特色的体现,体会甘于淡泊精神对当代青年的教育意义。专题2.14 等或不等解存在转化值域可实现【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集利用导数探讨方程解的存在性,通常可将方程转化为,通过确认函数或的值域,从而确定参数或变量的范围;类似的,对于不等式,也可仿效此法【典例指引】例1已知函数(1)若关于的方程在上有解,求实数的最大值;(2)是否存在,使得成立?若存在,求出,若不存在,说明理由;【思路引导】(1)方程在上有解,等价于有解,只需求的最大值即可;(2)假设存在,可推导出矛盾,即可证明不存在例2已知函数的最大值为,
2、 的图象关于轴对称()求实数的值;()设,是否存在区间,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由【思路引导】 () 由题意得,可得在上单调递增,在上单调递减,可得的最大值为,可得。由的图象关于轴对称,可得。 ()由题知,则,从而可得在上递增。假设存在区间,使得函数在上的值域是,则,将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题,即在区间上是否存在两个不相等实根,令,可得在区间上单调递增,不存在两个不等实根。 问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根,即方程在区间上是否存在两个不相等实根,令, ,则,设, 则, ,故在上递增,故,所以,故在区
3、间上单调递增,故方程在区间上不存在两个不相等实根,综上,不存在区间使得函数在区间上的值域是点睛:(1)解决导数综合题时,函数的单调性、极值是解题的基础,在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。(2)对于探索性问题,在求解的过程中可先假设结论成立,然后在此基础上进行推理,看能否得到矛盾,若得到矛盾,则说明假设不成立;若无矛盾出现,则说明假设成立,从而说明所证明题成立。例3已知函数为常数 (1)当在处取得极值时,若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;(2)若对任意的,总存在,使不等式 成立,求实数 的取值范围【思路引导】(1)对函数,令,可得的值,利用导数研究的单
4、调性,然后求得的最值,即可得到的取值范围;(2)利用导数求出在上的最大值,则问题等价于对对任意,不等式成立,然后构造新函数,再对求导,然后讨论,得出的单调性,即可求出的取值范围当时,所以在区间上单调递减,此时所以不可能使恒成立,故必有,因为若,可知在区间上单调递增,在此区间上有满足要求若,可知在区间上递减,在此区间上有,与恒成立相矛盾,所以实数的取值范围是点睛:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题在处理导数大题时,注意分层得分的原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利
5、用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会【同步训练】1设函数, ,已知曲线在点处的切线与直线平行(1)求的值;(2)是否存在自然数,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,请说明理由【思路引导】(1)求出的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得;(2)求出、的导数和单调区间,最值,由零点存在定理,即可判断存在k=1又,所以存在,使因为,所以当时, ,当时, ,所以当时, 单调递增,所以时,方程在内存在唯一的根点睛:本题考查函数的单调性、极值,同时考查零点存在定理和分段函数的最值,考查运算能力,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题
6、处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会2已知函数(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)由题意得导函数在其定义域内恒非负,再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围;(2)将不等式有解问题,利用参变分离法转化为对应函数最值问题,再利用导数求对应函数
7、最值,即得实数的取值范围则原问题转化为在上至少存在一点,使得,即时, , , ,则,不符合条件;时, ,由,可知,则在单调递增, ,整理得综上所述, 点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法3已知函数,其中()求的单调区间;()若在上存在,使得成立,求的取值范围【思路引导】(1)函数的单调区间与导数的符号相关,而函数的导数为,故可以根
8、据的符号讨论导数的符号,从而得到函数的单调区间(2)若不等式 在 上有解,那么在上, 但在上的单调性不确定,故需分 三种情况讨论(2)若在上存在,使得成立,则在上的最小值小于当,即时,由(1)可知在上单调递增, 在上的最小值为,由,可得,当,即时,由(1)可知在上单调递减, 在上的最小值为,由,可得 ;当,即时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增, 在上的最小值为,因为,所以,即,即,不满足题意,舍去综上所述,实数的取值范围为点睛:函数的单调性往往需要考虑导数的符号,通常情况下,我们需要把导函数变形,找出能决定导数正负的核心代数式,然后就参数的取值范围分类讨论又不等式的恒成立问题和有解问题
9、也常常转化为函数的最值讨论,比如:“在 上有解”可以转化为“在 上,有”,而“在恒成立”可以转化为“在 上,有”4已知函数(1)若在上递增,求的取值范围;(2)若,与至少一个成立,求的取值范围(参考数据: )【思路引导】(1)由题意可得在, 上递增,又在上递增,故或,解得或,即为所求。(2)结合(1)中结论及条件可得, 。分,和两种情况可求得或(2)由(1)知, 在上单调递减,在上单调递增,又, ,当,即时,显然成立;当,即时,可得或,或,或综上或所以的取值范围为。 点睛:已知函数单调性求参数取值范围的方法(1)若函数的单调区间容易求出,可转化为集合间的包含关系,在此基础上得到关于参数的不等式
10、(组)求解。(2)若函数的单调区间不易求出,可利用在所给区间上恒成立解决,解题时可根据分离参数的方法求解出参数的范围。5已知函数若,求函数的极值;设函数,求函数的单调区间;若在区间上不存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数符号,确定极值(2)先求导数,求导函数零点,讨论与零大小,最后根据导数符号确定函数单调性(3)正难则反,先求存在一点,使得成立时实数的取值范围,由存在性问题转化为对应函数最值问题,结合(2)单调性可得实数的取值范围,最后取补集得结果 ,;当时, 在上递减,在上递增令,则在递减, , 无解,即无解;综上:存在一点,使得成立,实数
11、的取值范围为: 或所以不存在一点,使得成立,实数的取值范围为点睛:函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题6已知函数(为实常数)(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在上的单调性;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)求出切线的斜率, ,即可得出切线方程;(2) 1,e,分、三种情况讨论导数的符号,即可得出结论;(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论当时, 在上单调增, 的最小值为当时, 在上单调减,在上单
12、调增,的最小值为因为当时, 在上单调减,的最小值为,,综上, 7已知,其中(1)求函数的极大值点;(2)当时,若在上至少存在一点,使成立,求的取值范围【思路引导】(1)求导,对进行四类讨论,得到极大值的情况;(2)在上至少存在一点,使成立,等价于当时, ,结合(1)的单调性情况,求,得到的取值范围 8已知函数()(1)若,求的极值;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围【思路引导】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(2)问题转化为, 成立,设,根据函数的单调性求出a的范围即可试题解析:(2)存在,使得成立,等价于,( )成立设则令,解得:
13、 (舍),;当, 在递减令,解得: 当时, 在递减,在递增与矛盾综上, 9已知函数,(1)求函数的单调区间;(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围【思路引导】(1)函数求导,从而得单调区间;(2)方程有实数根,即函数存在零点,分类讨论函数的单调性,从而得有零点时参数的范围(2)由题得, 依题意,方程有实数根,即函数存在零点又令,得当时,即函数在区间上单调递减,而, 所以函数存在零点;点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;(3)数形结合法:先对解析
14、式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解10已知函数,且直线是函数的一条切线(1)求的值;(2)对任意的,都存在,使得,求的取值范围;(3)已知方程有两个根,若,求证: 【思路引导】(1)对函数求导, ,设直线与函数相切与点,根据导数的几何意义可得, ,解得,求出;(2)对任意的 ,都存在,使得,只需要的值域是值域的子集,利用导数的方法分别求、的值域,即可求出的取值范围;(3)根据题意得,两式相减得, ,所以,令,则,则,令,对求导,判断的单调,证明 (2) 由(1)得,所以,当, 时, ,所以在上单调递减,所以当, 时, , ,当时, ,所以在上单调递增,所以当时, ,依题意得 ,所以,解得(3) 依题意得,两式相减得,所以,方程可转化为认识不够深刻全面,没能做到内心外行,表率化人。对照党章和焦裕禄等先进模范典型,感觉自己对党性锻炼标准不高、要求不严。