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1、2.2 等差数列 2.2.1 等差数列,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,点击进入 【情境导学】,1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的差都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.,第2项,同一个常数,常数,2.等差数列通项公式 等差数列an的通项公式为 . 3.等差中项 如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的 ,用式子表示为 .,an=a1+(n-1)d,等差中项,【拓展延伸】 1.等差数列的概念 在数列an中,如果an+1-an=d(常数)对任意nN+都成立,则称数列an为等差数列,
2、常数d称为等差数列的公差.对等差数列定义的理解,要注意以下几点: (1)在定义中应注意“从第2项起”这一条件,因为首项没有“前一项”,且如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列,但可以说去掉第一项后是一个等差数列. (2)定义中“同一个常数”不能丢掉“同一个”.,(3)定义中的“差”是每一项与它的前一项的差,顺序不能颠倒.也就是说,从等差数列中任取相邻两项,后一项与前一项的差为公差d,dR, (4)要证明或判断一个数列是等差数列,只要证明an+1-an=d(nN+)即可. 2.等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式由它的首项
3、和公差确定,即an=a1+(n-1)d,公式中含有四个量a1,an,n,d,已知其中任意三个量,可求第四个量. (2)根据等差数列的通项公式可得到常用的等差数列的性质: 在等差数列an中,am=an+(m-n)d(m,nN+,d是公差). 在等差数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+an=ap+aq,特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap. 在等差数列an中,m,n,k成等差数列(m,n,kN+),则am,an,ak也成等差 数列.,(3)由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d可知,an是n的一次函数(或常数函数),即等差数列对应的各点(n,a
4、n)均在一条直线y=dx+(a1-d)上,公差d为直线的斜率. (4)数列an的通项公式是an=an+b(a,b为常数)数列an是等差数列. 3.等差中项 由等差中项的定义知,x,A,y成等差数列x+y=2A,因此任何两个数x,y都有唯一确定的等差中项 . 等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:an-1+an+1=2an(n2).因此在等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;反之,如果一个数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,那么这个数列是等差数列.,4.等差数列的单调性:若等差数列的通项公式为an
5、=a1+(n-1)d.(nN*) 当d=0时,an是常数列; 当d0时,an是递增数列; 当d0时,an是递减数列.,自我检测,1.下列四个数列中,是等差数列的有( ) 1,2,4,6,8; 2,4,6,8; 2,2,2,2,2; 1,2,4,7,11. (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个,C,解析:按定义进行判断.中2-1=1,4-2=2,故不是等差数列;,都是等差数列;不是等差数列.,2.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为( ) (A)2 (B)3 (C)-2 (D)-3,C,解析:d=an+1-an=-2.,3.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中
6、项是5,则m和n的等差中项是( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)9,4.等差数列an中,a4=8,a8=4,则其通项公式为 .,解析:设首项为a1,公差为d,则a4=a1+3d=8,a8=a1+7d=4,解得d=-1,a1=11.所以an=a1+(n-1)d=12-n. 答案:an=12-n,B,类型一,等差数列的判断,课堂探究素养提升,【例1】 已知数列的通项公式为an=6n-1,问:这个数列是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少?,思路点拨:由等差数列的定义,只需判断an+1-an是否为常数. 解:因为an+1-an=6(n+1)-1-(6n-1)=6, 所以an是等差
7、数列,其首项为a1=61-1=5,公差为6.,方法技巧 等差数列的常用判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)数列an为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2数列an为等差数列. (3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数,nN+)数列an为等差数列.,类型二,等差数列的通项公式,思路点拨:要求通项公式,可转化为求a1与d.,【例2】 等差数列an是递减数列,且a2a3a4=48,a2+a3+a4=12,求数列an的通项公式.,方法技巧 等差数列的通项公式中含有a1,an,d,n四个字母.当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出
8、这四个字母中的任何一个.,变式训练2-1:(1)求等差数列10,8,6,的第20项. (2)100是不是等差数列2,9,16,中的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.,解:(1)由已知得a1=10,d=8-10=-2, 则通项公式为an=10+(n-1)(-2)=-2n+12, 所以a20=-220+12=-28. (2)由于a1=2,d=9-2=7, 则等差数列的通项公式为an=2+(n-1)7=7n-5. 令100=7n-5,得n=15, 所以100是这个数列的第15项.,类型三,等差数列的性质,【例3】 等差数列an中,已知a2+a3+a10+a11=36,求a5+a8.,解:法一
9、 根据题意设此数列首项为a1,公差为d,则 a1+d+a1+2d+a1+9d+a1+10d=36, 所以4a1+22d=36,2a1+11d=18, 所以a5+a8=2a1+11d=18. 法二 由等差数列性质得: a5+a8=a3+a10=a2+a11=362=18.,方法技巧 法一设出了a1、d,但并没有求出a1、d,事实上也求不出来,这种“设而不求”的方法在数学中常用,它体现了整体代换的思想.法二运用了等差数列的性质:若m+n=p+q(m,n,p,qN+),则am+an=ap+aq.,变式训练3-1:若an为等差数列,a20=8,a60=48,求a75.,类型四,等差数列的设法,【例4】 四个数成等差数列,四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数.,方法技巧 在设等差数列时,适当地注意对称性可有效地减少运算量,如三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d,四个数成等差数列可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,变式训练4-1:已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为 ,求这5个数.,类型五,易错辨析,纠错:数列从第10项开始为正数,隐含着a90.,点击进入 课时作业,谢谢观赏！,
