《2018-2019学年人教b版 必修2 1.2.3空间中的垂直关系 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年人教b版 必修2 1.2.3空间中的垂直关系 学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3空间中的垂直关系 学习目标：1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理(重点)2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题(重点、难点)3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化(易错点)自 主 预 习探 新 知1直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用 线面垂直线线平行作平行线思考1：(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？提示 (1)共面由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面(2)有且仅有一条假设过一点有两条直线与已知平面垂直，
2、由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线 2平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线思考2：(1)如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？(2)如果，过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于吗？提示 (1)正确若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线(2)错误垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直基础自测1思考辨析(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行( )(2)垂直于同一平面的两条直线
3、互相平行( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直( )答案 (1) (2) (3)2两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面( )A垂直 B平行C斜交D以上都有可能D 两平面互相垂直，则一个平面内的一条直线与另一个平面可能垂直、平行、斜交故选D.3平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_平行 mn.合 作 探 究攻 重 难线面垂直性质定理的应用 如图2337，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC. 证明：AEMN.图2337解 因为AB平
4、面PAD，AE平面PAD，所以AEAB，又ABCD，所以AECD.因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD.又CDPDD，所以AE平面PCD.因为MNAB，ABCD，所以MNCD.又因为MNPC，PCCDC，所以MN平面PCD，所以AEMN.规律方法 证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1如图2338，已知平面平面l，EA，垂足
5、为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al. 图2338证明 因为EA，l，即l，所以lEA. 同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.面面垂直性质定理的应用 如图2339，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点图2339(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积.思路探究：(1)线线平行转化为线面平行，只需证VBOM即可(2)面面垂直线面垂直线线垂直，即证COAB.(3
6、)按锥体公式计算解 (1)证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB.VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC.(2)证明：ACBC，O为AB的中点，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，SVABAB2.OC平面VAB，VC VABOCSVAB1，VVABCVCVAB.规律方法 1证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面
7、)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线跟踪训练2如图2340，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC. 图2340证明 平面VAB底面ABCD，且BCAB.BC平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC.平面VBC平面VAC.垂直关系的综合应用探究问题1如图2341，A，B，C，D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC，等边ADB以AB为轴转动当平面ADB平面ABC时，能否求CD的长度？ 图2341提示 取AB的中点
8、E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE，由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.2在上述问题中，当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论. 提示 当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由探究1知ABDE.又因ACBC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE，由CD 平面CDE，得ABCD.综上所述，总有ABCD.3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示 垂直问题
9、转化关系如下所示： 如图2342，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA. 图2342思路探究：(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明 (1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F， 则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN
10、.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.母题探究：1本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小？解 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a.在CEN中，由知B为CN中点，CBBN2a.ABN中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA.又EC平面ABC，ECNA，又CACEC.NA平面ACE，NAAE，NAAC.且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE
11、为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角在RtACE中，ACCE，CAE45.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45.2若将本例中“CEAC2BD”改为“CEAC2BD2”，其它条件不变，试求该几何体的体积解 由“探究1”可知，AC2，AN2且BD1，SABNSCANSABC2222.该几何体的体积VVEACNVDABNSACNCESABNBD2221.规律方法 垂直关系的互化及解题策略(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的它们之间的转化关系如下：判定定理线面垂直定义判定定理性质定理(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本
12、原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题当 堂 达 标固 双 基1直线a与直线b垂直，直线b平面，则直线a与平面的位置关系是( )Aa BaCaDa或aD ab，b，则a或a.选D.2在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且ABBC，ADCD，则BD与CC1( )A平行B共面C垂直D不垂直C 如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD.BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.3已知l，m，n是三条不同的直线，是一平面下列命题中正确的个数为( ) 【导学号：07742166】若lm，mn，l，则n；若lm，m，n，则ln；若l，lm，则m.A1B2C3D0B 对于，因为lm，mn，所以ln，又l，所以n，即正确；对于，因为m，n，所以mn，又lm，所以ln
