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1、 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.例例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述2.1 随机变量随机变量设 是试验E的样本空间, 若则称 X ( ) 为 上的 随机变量r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.定义定义随机变量 ( random variable )2.12.1按一定法则简记 r.v. X .随机变量随机变量 是上的映射, 此映射具有如下特点 定义域定义域 事件域 随机性随机性 r.v. X 的可能取值不止一个,
2、 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某个值 引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件, 例如 表示 “某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件为事件A 的示性变量 r.v.的函数一般也是r.v. 可根据随机事件定义 r.v. 设 A 为随机事件，则称 在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v., 例如 = 儿童的发育情况 X() 身高,Y() 体重,Z() 头围.各 r.v.之间可能有一定的关系, 也可能没有关系 即 相互独立离散型离散型非离散型非离散型r.v. 分类分类 其中一种重要的类型为 连续性连
3、续性 r.v.引入引入 r.v.重要意义重要意义 任何随机现象可任何随机现象可 被被 r.v.描述描述 借助微积分方法借助微积分方法 将讨论进行到底将讨论进行到底2.2离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律X P 或离散随机变量及分布律即2.2分布律的性质分布律的性质q 非负性q 归一性X 或解解 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布
4、.及PX3.令 X 表示例1 例例2 2 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.解解P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)例2帕斯卡分 布(1) 0 1 分布分布是否超标等等. 常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1应用场合或(2) 二项分布二项分布n 重Berno
5、ulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作01 分布是 n = 1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由图表可见 , 当 时，分布取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20xP135
6、79024681020由图表可见 , 当 时，分布取得最大值0.22 二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值例例4 4 独立射击5000次, 命中率为0.001,例4解解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000
7、+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率. (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示由此可见日常生活中“提高警惕, 防火由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人.防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌. 启示, 则对固定的 k设Possion定理定理Poisson定理
8、说明若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式问题问题 如何计算 ？ 证 记类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的概率为当时，对每个 n 有 结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布解解 令X 表示命中次数, 则 令 此结果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例4 (2) X B( 5000,0.001 )例例5 5 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱,
9、 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装解解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X B ( 100 + n , 0.03 )由题意 3(100+n)0.03=3+0.03n取 = 3多少个产品？例5查Poisson分布表, =3得 n +1 = 6 , n = 5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求. .应用Poisson定理在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时, 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.30
10、5 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 在Poisson 定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布(3) Poisson 分布分布若其中是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.或记作在某个时段内：大卖场的顾客数；某
11、地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数； 都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t )例例6 6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 例6 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的. 已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知由全概率公式故每周一题4(1) 自动生
12、产线调整以后出现废品的概率为 p, 当生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间的合格产品数的分布. 问问 题题第第4 4周周 4(2)已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布 .第四周第四周 问问题题 Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家 思想家帕斯卡 帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡
13、简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器. 他应用此方法解决了摆线问题. 1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理. 三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他曾研究过赌博问题, ,对早期概率论的发展颇有影响对早期概率论的发展颇有影响. . 1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立. 在离散型随机变量的分布中有个在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生重复独立试验中，事件发生 次的场次的场 帕斯卡还写过不少文学著作. 1654年他进入修道院,献身于哲合合. .而有名的几何分布正是其而有名的几何分布正是其 时时的特例的特例. .学和宗教.
