《2018-2019学年人教b版 必修2 1.1.5三视图 学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018-2019学年人教b版 必修2 1.1.5三视图 学案(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.5三视图学习目标:1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1球的体积设球的半径为R,则球的体积VR3.2球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S4R2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍 基础自测1思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方( )(2)长方体既有外接球又有内切球( )(3)球面展开一定是平面的圆面( )(4)球的三视图都是圆( )提示 (1) 体积比应为半径比的立方(2) 长方体不一定有内切球(3) 球面展不成平面(4)2若球的过球心的圆面的周长
2、是C,则这个球的表面积是( )A B C D2C2C 由2RC,得R,所以S球面4R2.3若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积扩大到原来的( )A2倍 B4倍 C8倍 D16倍C 设气球原来的半径为r,体积为V,则Vr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为(2r)38r3.4一个球的外切正方体的表面积为6 cm2,则此球的体积为( )A cm3B cm3C cm3D cm3C 设球的直径为2R cm,则正方体的棱长为2R cm,所以64R26,解得R,所以球的体积为(cm3)合 作 探 究攻 重 难球的表面积与体积 (1)已知球的表面积为64,求它的体积;(2)已知球的体积为,求
3、它的表面积 解 (1)设球的半径为r,则由已知得4r264,r4.所以球的体积:Vr3.(2)设球的半径为R,由已知得R3,所以R5,所以球的表面积为:S4R2452100.规律方法 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键:把握住球的表面积公式S球4R2,球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论:两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.跟踪训练1过球一条半径的中点,作一垂直于这个半径的截面,截面面积为48 cm2,则球的表面积为
4、_cm2.256 易知截面为一圆面,如图所示,圆O是球的过已知半径的大圆,AB是截面圆的直径,作OC垂直AB于点C,连接OA.由截面面积为48 cm2,可得AC4 cm.设OAR,则OCR,所以R2(4)2,解得R8 cm.故球的表面积S4R2256(cm2)2一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是 ( )A cm3 B cm3C cm3D cm3C 根据球的截面的性质,得球的半径R5(cm),所以V球R3(cm3)球的表面积及体积的应用 一个倒立的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,
5、问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?思路探究:设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决解 设PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面高PCh,球取出后水面高PHx,如图所示ACr,PC3r,以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3,V球r3.球取出后水面下降到EF,水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圆锥V球,即x33r3r3,xr.故球取出后水面的高为r.规律方法 1画出截面图是解答本题的关键2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中,要分清涉及的是体积问题还是表
6、面积问题,然后再利用等量关系进行计算跟踪训练2圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少?解 设取出小球后,容器中水面下降h cm,两个小球的体积为V球23,此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h,所以52h,所以h(cm),即若取出这两个小球,则容器的水面将下降 cm. 与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则其外接球半径R与三条棱长有何关系?提示 2R.2棱长为a的正方体的外接球,其半径R与棱长a有何数量关系?其内切球呢?提示 外接球半径Ra;内接球半径Ra.3若一球与正方
7、体的12条棱相切,则球半径R与棱长a有何数量关系?提示 Ra. (1)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为( )【导学号:07742068】AB4C4D6(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为_思路探究:(1)作出截面图,由图易求出半径R,进而求出其体积(2)先求出球半径,再求球的表面积(1)B (2)14 (1)画出截面图,如图:R.其体积VR34.故选B.(2)球的直径是长方体的体对角线,2R,S4R214.母题探究:1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”,求此球的体积解 正方体的外接
8、球直径等于正方体的体对角线长,即2R,所以R,所以V球()34.2若把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”,求球的表面积解 把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为x,则ax,由题意2Rxa,所以Ra,所以S球4R2a2.3若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长分别为2a,a,a”,求球的表面积和体积解 以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱,将三棱锥补成长方体,则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,其球的直径等于长方体的体对角线长,故2Ra,Ra,所以S球4R26a2,V球R3a3.规律方法 球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关
9、的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;球与棱锥相切,则可利用V棱锥S底hS表R,求球的半径R.当 堂 达 标固 双 基1直径为6的球的表面积和体积分别是( )A144,144 B144,36C36,144D36,36D 半径R3.所以S表4R236,VR32736.故选D.2正方体
10、的表面积为54,则它的外接球的表面积为( ) A27BC36DA 设正方体的棱长为a,则S6a254,a3.其外接球半径为Ra.外接球表面积为S4R2427.3表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切,则这个多面体的体积为( )A.Q BQ C.Q D2QC 4R264R4,VQRQ,故选C.4两个半径为1的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是_. 设大球的半径为R,则有R3213,R32,所以R.5圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比解 (1)V圆柱r22r2r3,V圆锥r22rr3,V球r3,所以V圆柱V圆锥V球312.(2)S圆柱2r2r2r26r2,S圆锥rr2(1)r2,S球4r2,所以S圆柱S圆锥S球6(1)4.