《2016-2017学年人教b版选修4-5 平面上的柯西不等式的代数和向量形式 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版选修4-5 平面上的柯西不等式的代数和向量形式 学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学人教B选修4-5第二章2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式1认识二维形式的柯西不等式2理解二维形式的柯西不等式的几何意义3会利用二维形式的柯西不等式进行简单问题的证明1二维形式的柯西不等式定理1(柯西不等式的代数形式)设a1，a2，b1，b2均为实数，则_，上式等号成立_.定理2(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|_.当及为非零向量时，上式中等号成立向量与_(_)存在实数0，使得_当或为零向量时，规定零向量和任何向量平行，如，中至少有一个是零向量，则规定0，上面的结果仍然正确定理3设a1，a2，b1，b2为实数，则_，等号成立存在非负实数及，使得a1b1，a2b2.
2、【做一做11】若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2C， D(，【做一做12】已知p，q(0，)，且p3q32，则pq的最大值为()A2 B8 C D42定理4(平面三角不等式)设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则_，等号成立存在非负实数及使得(a1b1)_，_(b2c2)3定理5(平面三角不等式的向量形式)设，为平面向量，则|_.当，为非零向量时，上面不等式中等号成立存在正常数，使得()向量与_，即夹角为_定理4与定理5是同一定理的不同表示形式，它们都可以看作是定理3的变式【做一做2】已知，为空间向量，求证：|.答案：1(a1b1a2b2)2a1b2a
3、2b1|共线平行【做一做11】A(a2b2)12(1)2(ab)2，a2b210，(ab)220.当且仅当|a|b|时等号成立，2ab2.【做一做12】A设m(p，q)，n(p，q)，则p2q2ppqq|mn|m|n|，当且仅当存在实数0，使得mn时等号成立又(pq)22(p2q2)，p2q2.(pq)48(pq)pq2.2(b1c1)(a2b2)3|同向零【做一做2】分析：参照平面三角不等式的向量形式的证明方法进行证明即可证明：设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，(c1，c2，c3)，则(a1b1，a2b2，a3b3)，(b1c1，b2c2，b3c3)，(c1a1，c2a2，c3a
4、3)，|，|，|，由定理4，得|，且等号成立存在正实数，使得()如何理解柯西不等式？剖析：柯西不等式的几种形式都涉及对不等式的理解与记忆，因此，柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造，但怎样构造要仔细体会例如：(a1b1a2b2)2，(a1b2a2b1)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识，更要结合具体问题灵活地应用柯西不等式题型一 利用柯西不等式的代数形式证明不等式【例题1】设a，b(0，)，且ab2.求证：2.分析：利用柯西不等式证明不等式，需要先观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值，因而需出现(a2b2)(c2d2
5、)的结构把视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2a)(2b)反思：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当地变形这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口题型二 利用柯西不等式的向量形式证明不等式【例题2】已知a，b(0，)，且ab1.求证：(axby)2ax2by2.分析：利用柯西不等式的向量形式反思：使用向量形式的柯西不等式时要注意向量模的计算公式|对数学式子变形的影响题型三 利用柯西不等式解决实际问题【例题3】在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方
6、形分析：首先表示出长方形的周长，得出目标函数，再利用柯西不等式求解反思：当函数的解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解题型四 易错辨析易错点：应用柯西不等式时，因不注重等号是否成立，从而导致结果错误【例题4】已知函数f(x)x，x2,4，求f(x)的最小值错解：24，x2.f(x)的最小值为2.错因分析：应用柯西不等式求最值时，本题中若“”成立，则须，即x，所以x1.但12,4，所以不符合题意答案：【例题1】证明：根据柯西不等式，有(2a)(2b)()2()22(ab)24.当且仅当ab1时等号成立2.原不等式成立【例题2】证明：设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n|，(axb
7、y)2ax2by2.【例题3】解：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是ABCD的周长l2(x+)2(1x+1)由柯西不等式，得l，当且仅当，即时等号成立此时，宽，即ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为.【例题4】正解：易证f(x)x在2,4上为增函数，故f(x)的最小值为f(2)2.1已知a，b(0，)，则的最小值为()Aa2b2 B2ab C(ab)2 D4ab2已知ab1，则a2b2的最小值为()A1 B2 C D无最小值3若3x4y2，则x2y2的最小值为()A B C D4函数f(x)的最大值为_5设实数x，y满足3x22y26，则p2xy的最大值是_
8、答案：1C(sin2cos2)2(ab)2，当且仅当cos sin ，即tan2时等号成立2C由柯西不等式，知(a2b2)(1212)(ab)2.ab1，a2b2，当且仅当ab时等号成立3D由柯西不等式，知(x2y2)(3242)(3x4y)2，即25(x2y2)4，x2y2，当且仅当4x3y，即x，y时等号成立42由柯西不等式，知()2(1212)()2()212，即2，当且仅当，即x9时等号成立，所以f(x)取得最大值2.5(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，2xy.当且仅当xy，即3x4y时等号成立1函数的最大值是()A B C3 D5答案：B根据柯西不等式，知当且仅当，
9、即时等号成立2已知a，b(0，)，且ab1，则的最大值是()A B C6 D12答案：D(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即时等号成立3已知x，y(0，)，且xy1，则的最小值为()A4 B2 C1 D答案：A224，当且仅当，即xy1时等号成立4已知2x2y21，则2xy的最大值是()A B2 C D3答案：C2xy，当且仅当，即xy时等号成立5已知(ab0)，设Aa2b2，B(xy)2，则A，B间的大小关系为()AAB BAB CAB DAB答案：D6设xy0，则的最小值为_答案：9原式9，当且仅当，即时等号成立7若2x3y1，则4x29y2的最小值为_
10、答案：由柯西不等式，得(4x29y2)(1212)(2x3y)21，4x29y2，当且仅当2x3y，即，时等号成立8设a，b，c，d，m，n都是正实数，则P与Q的大小关系为_答案：PQ由柯西不等式，得.当且仅当，即adm2bcn2时，等号成立9试求函数的最大值，并求出相应的x值答案：解：设m(3,4)，n(cos x，)，则f(x)3cos x|mn|m|n|，当且仅当mn时，上式取“”此时，0.解得sin x，cos x.故当sin x，cos x，即x2karcsin，kZ时，f(x)3cos x取最大值.10设a，b，c，d是四个不全为零的实数，求证：.答案：证明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)(a2b2c2d2).
