《2016-2017学年人教b版选修4-5 基本不等式 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版选修4-5 基本不等式 学案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课堂导学三点剖析一,利用基本不等式进行证明【例1】 若a,b,c是互不相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.思路分析:所证不等式是关于a,b,c的对称式,注意到a2+b22ab,然后轮换相加即可.证明：a,b,c是互不相等的实数,a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca.将上面三个同向不等式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca),即a2+b2+c2ab+bc+ca.温馨提示分段应用基本不等式,然后整体相加(乘)得结论,是证明对称不等式的常用技巧.在证明不等式时,有时多次运用这个结论来证明较复杂的不等式.二,利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知x0,y0
2、,且x+2y=1,求+的最小值.思路分析:根据题设条件,合理变形,创造能用均值定理的条件,求最值.解：(1)x,4x-50.y=4x-1+=-(5-4x+)+4.5-4x+=2,y-2+4=2.当且仅当5-4x=,即x=1或x=(舍)时,等号成立,当x=1时,y取最大值为2.(2)x+2y=1,+=+=3+3+2=3+2.当且仅当=,又x+2y=1,即x=-1,y=1-时等号成立.当x=-1,y=1-时, +取最小值3+2.温馨提示用均值定理求最值时,为了满足和或积为定值的条件,常采用配,凑的方法变换,另外变量为正和等号成立的条件也要特别注意.三,利用基本不等式解决综合问题【例3】 如图,为处
3、理含某种杂质的污水,要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中,设杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问a,b各为多少时,经沉淀后流出的水中,该杂质的质量分数最小.解析：设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k0为比例系数.根据题设,有4b+2ab+2a=60(a0,b0),b=(0a0,b0,c0且a+b+c=1,求证:.证明:+=+=3+(+)+(+)+(+)3+2+2+2=9.等号成立,当且仅当a=b=c=.变式提升1若a,bR,|a|1,|b|1.求证:.证明:直接套用xy,得类题演练2已知x0,y0且5x+7y=20,求xy的最大值.解:xy=(5x7y)()2=()2=,当且仅当5x=7y=10,即x=2,y=时,xy取最大值.变式提升2(1)已知x0,y0且+=1,求x+y的最小值;(2)已知x0,y0, +=1,x+y=(+)(x+y)=+10+10=16.当且仅当=,又+=1即x=4,y=12时等号成立.当x=4,y=12时,x+y取最小值16.(2)因为x0,-100.从而S100.因此S最大允许值是100米2.(2)取得此最大值的条件是40x=90y,而xy=100,由此求得x=15,即铁栅的长应是15米.
