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1、聚智堂数学讲义 全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1) AB与 是对应边，BC与 是对应边， CA与 是对应边；(2)A与 是对应角，ABC与 是对应角， BAC与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的
2、，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)BOD ； (2)ACD . 【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50【例题3】（清远）如图，若，且，则ABCC1A1B1= CAB【练习2】 如图，=30，则的度数为（ ）A 20 B30 C35 D
3、40【练习3】如图，ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90到EBC， 且ABD=90。（1）ABD和EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由。专题二 全等三角形的判定【知识点1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS.【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：BAC=DAC。 【练习1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEFBCDEFA 【知识点2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 简写
4、为“边角边”或“SAS.【例题2】已知：如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD 求证：DCAB 【练习2】已知：如图，AEBF，AB=CD，AE=BF . 求证： AEC BFD 【练习3】如图，已知ABBD，EDBD，ABCD，BCDE， 求证：ACCE若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1C2E还成立吗？请说明理由【知识点3】ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， （可以简写为“角边角”或“ASA”）【例题3】已知：如图，AOD=BOC，A=C，O是AC的中点。求证：AOBCOD 【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，
5、E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 2、如图，点E在ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若1=2 =3，AC=AE，求证：AB=AD。3、如图，已知：ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。（1）证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。【知识点4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等， (可以简写为“角角边”或“AAS”)这一结论很容易由ASA推得：因为三角形的内角和等于180，因此有两个角分别对
6、应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。【例题4】1、下列说法中：如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等正确的是（）A和B和C和DACBDEF2、已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDAEBDCF【练习6】1、如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，D
7、FAC于F，ABC面积是28，AB20cm，AC8cm，求DE的长ABCDEF图92、ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE【知识点5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等， （可以简写为“斜边，直角边”或“HL”）【例题5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有 （2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A AB3，BC4，AC8； B. AB4，BC3，A30；C.A60，B45，AB4； D. C90，AB6（3）已知：如图ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O点，且BD=
8、CE求证：OB=OC.（4）如图，ACB=90，AC=BC，D为AB上一点，AECD于E，BFDC交CD的延长线于F求证：BF=CE【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定的一组是 （ ）（A） A=A，B=B，AB=AB （B） A=A，AB=AB，AC=AC（C） A=A，AB=AB，BC=BC（D） AB=AB，AC=AC，BC=BC（2）专题三 角的平分线的性质【知识点1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题1】1、已知BAC，作BAC的平分线。（尺规作图）2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ） A45 B135 C45或135 D都不对【知识
9、点2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。【例题2】1、ABC中，ABC，A的平分线交BC于点D，若CD8cm，则点D到AB的距离为cm2、如左下图，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2cmB.3 cm C.4 cm D.5 cm 2、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则ABEACF BDFCDE D在BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有 B.只有C.只有和 D.，与3、如图，已知ABC 中，E 是 AB 延长线上的一点，AE=AC，AD 平分A，BD=BE。 求证：ABC=2
10、C。 【知识点3】角平分线的判定方法1：（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。方法2：（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点， ACBC、 ADBD、 AC=AD， 求证：DEA =CEA 。 2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、BC 为边在直线的同旁作等边三角形 ABD、BCE，连结 AE 交 BD 于 M，连结 CD 交 BE 于 N，连结 MN，求证：BMN 是等边三角形。 3、已知：如图， AO平分EAD和EOD ；求证： AOEAOD E
11、B=DC 4、如图，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求证：AE平分FAC.第二章轴对称专题一：轴对称【基础练习】 1.（2010日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是_。 （只需填入图案代号）2. （2008贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_cm23. 下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）4.下图均为76的正方形网格，点A、B、C在格点上在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(要求：分别在图、图、图中画出三个互不相同的图形)5. （2009河南）如图，ABC与ABC关于直线l对称，则B的度数为（）6.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”。（1）在图（一）中作出四边形ABCD关于直线BD对称的四边形ABCD；（2）求图（一）中四边形ABCD的面积；（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使EFG的面积等于四边形ABCD的面积且EFG为轴对称图形。【知识点】1.轴对称与轴对称图形的区别和联系_2
