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1、第六章 用有限元法解平面问题,第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵,第四节 单元的应变列阵和应力列阵,第三节 单元的位移模式与解答的收敛性,第二节 有限单元法的概念,第一节 基本量及基本方程的矩阵表示,概述,第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,第六章 用有限元法解平面问题,例题,第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程,第十节 计算实例,第九节 计算成果的整理,第八节 解题的具体步骤 单元的划分,第七节 结构的整体分析结点平衡方程组,1、有限元法（Finite Element Method）,FEM,2、 FEM的特点,概述,(1)具有通用性和灵活性。,首先将连续体变换为离散化结构
2、，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。,简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。,(2)对同一类问题,可以编制出通用程序,应用计算机进行计算。,(3)只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。,3、FEM简史,1943年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。,FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。,简史,1956年,特纳(Tunner)等人提出了FEM。,上世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题。,1960年提出了FEM的名称。,上世纪60年代后,FEM应用于各种力学问题和非线性问题,并得到迅速发展。,3、FEM简史,1943
3、年柯朗(Currant)第一次提出了FEM的概念。,FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。,上世纪70年代后,FEM被引入我国,并很快地得到应用和发展。,5、本章介绍平面问题的FEM,4、FEM的主要导出方法,应用静力方法或变分方法导出。,仅叙述按位移求解的方法。,且一般都以平面应力问题来表示。,6-1 基本量和基本方程的矩阵表示,本章无特别指明,均表示为平面应力问题的公式。,采用矩阵表示,可使公式统一、简洁,且便于编制程序。,1、基本物理量的矩阵表示,体力:,位移函数:,应变:,应力:,结点位移列阵:,结点力列阵:,面力:,基本物理量,(2)物理方程:,2、FEM
4、中应用的方程,(1)几何方程:,应用的方程,其中,D为弹性矩阵,对于平面应力问题是:,(3)虚功方程:,为结点虚位移及对应的虚应变。,其中，,在FEM中用结点的平衡方程代替平衡微分方程,后者不再列出。,(3)整体分析。,6-2 有限单元法的概念,FEM的概念，可以简述为：,FEM的概念,(1)将连续体变换为离散化结构(结构的离散化)；,(2)单元分析；,FEM的分析过程：,该方法的理论基础是分片插值技术与变分原理。,采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法。,结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元(杆件)之间除结点铰结
5、外，没有其他联系(图(a)。,弹力研究的对象，是连续体(图(b)。,结构离散化,1. 结构离散化,FEM的分析过程(1),将连续体变换为离散化结构(图(c)：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。,图(c)与图(a)相比,两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图(c)的单元是三角形块体（注意:三角形单元内部仍是连续体）。,结构离散化,比如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。,将连续体变换为离散化结构(图(c)：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构
6、成所谓“离散化结构”。,1. 结构离散化,FEM的分析过程(1),2.单元分析,求解方法,每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。,取各结点位移 为基本未知量，然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。,FEM的分析过程(2),(1)应用插值公式, 由单元结点位移 , 求单元的位移函数,该插值公式称为单元的位移模式,记为,单元分析的主要内容：,(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变,求解方法,(4)应用虚功方程,由单元的应力 ,求出单元的结点力表示为,(3)应用物理方程,由单元的应变 ,求出单元的应力
7、,其中， 为结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。,2.单元分析,FEM的分析过程(2),(1)应用插值公式, 由单元结点位移 , 求单元的位移函数,该插值公式称为单元的位移模式,记为,单元分析的主要内容：,(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变,(5)将每一单元中的各种外荷载,按虚功等效原则移置到结点上,化为结点荷载,为已知值, 是用结点位移表示的值。,各单位移置到i 结点上的结点荷载,求解方法,3.整体分析,各单元对i 结点的结点力,作用于结点i上的力有：,FEM的分析过程(3),其中, 表示对围绕i 结点的单元求和；,通过求解联立方程，得出各结点位移值
8、，从而求出各单元的应变和应力。,求解方法,3.整体分析,2.对单元进行分析,1.将连续体变换为离散化结构,归纳起来，FEM分析的主要步骤：,（1）单元的位移模式,（2）单元的应变列阵,（4）单元的结点力列阵,（5）单元的等效结点荷载列阵,建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。,（3）单元的应力列阵,思考题,1.有限单元法求解问题的基本步骤是什么？,2.试说明单元分析的主要内容。,复 习,1、基本物理量与基本方程的矩阵表示,(2)物理方程:,(1)几何方程:,(3)虚功方程:,3.整体分析,2.对单元进行分析,1.将连续体变换为离散化结构,2.FEM分析的主要步骤：,位移模式,应变列阵,结点力列
9、阵,等效结点荷载列阵,应力列阵,应用插值公式,可由 求出位移 。,首先,必须解决由单元的结点位移 来求出单元的位移函数,FEM是取结点位移 为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。,该插值公式表示了单元中位移的分布形式,因此称为位移模式。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式,插值公式(a)在结点 应等于结点位移值 。由此可求出,在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性函数,也就是假定：,三角形单元,其中 包含,将式(a)按未知数 归纳为:,三角形单元,或用矩阵表示为:,N 称为形函数矩阵,其非零元素为,其中，,A为ijm的面积(图示坐标系中,i,j,m按逆时针编号),有：
10、,三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了x,y的1次项，所以在单元中Ni的分布如图(a)所示,u,v的分布如图(b)、(c)所示。,三角形单元,所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：,FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。,收敛性条件,所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：,因为当单元尺寸趋于0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。,(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。,(2)位移模式
11、必须能反映单元的常量应变。,可见刚体位移项在式(a)中均已反映。,而刚体位移形式(P17(2-9)式)为，,将式(a)写成,对式(a)求应变,得：,可见常量应变也已反映。,(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。,收敛性条件,即应尽可能反映原连续体的位移连续性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij 上， 之间均为线性变化，也为连续。,收敛性条件,所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：,(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移。,(2)位移模式必须能反映单元的常量应变。,(1)和(2)是必要条件，而加上(3)就为充分条件
12、。,为了保证FEM的收敛性：,思考题,1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？ 2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,应用几何方程，求出单元的应变列阵：,位移函数,其中，,单元中的位移函数用位移模式表示为,应变,应力,应用几何方程，求出单元的应变列阵：,其中, B 称为应变矩阵，用分块矩阵表示，,再应用物理方程，求出单元的应力列阵：,应变,应力,其中, S称为应力转换矩阵，写成分块形式为,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量
13、，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 ,其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。,再应用物理方程，求出单元的应力列阵：,思考题,如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,现在来考虑其中一个单元：,模型,结点力,在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。,(2)单元与周围的单元在边界上已没有联系,只在结点i,j,m互相联系。,(1)将作用于单元上的各种外荷载,按静力等效原则移置到结点上去,化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。,假想将单元与结点i 切开，则：,其数值与 相同，
14、而方向相反。,以沿正坐标向为正。对单元而言,这是作用在其上的“外力”。,(1)结点作用于单元上的力，称为结点力，,(2)单元作用于结点的力，为：,而其内部有应力作用，,考察已与结点切开后的单元i,j,m，则此单元上作用有外力,即结点力,应用虚功方程，求单元的结点力：,假设发生一组结点虚位移 则单元内任一点(x,y)的虚位移为 单元内任一点(x,y)的虚应变为 代入虚功方程：在单元中，外力(结点力 )在虚位移(结点虚位移 )上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，即：,虚功方程,代入,其中 与x,y无关，故式(a)成为,因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足，故,式(b)是由应力
15、求结点力的一般公式。,式(c)是由结点位移求结点力的一般公式，k称为单元的劲度矩阵.,其中,再将应力公式代入上式，得,单元劲度矩阵,式(b)是由应力求结点力的一般公式。,对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有,代入B，D，得出k如书中(6-37)及(6-38)所示。,对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有,代入B，D，即得平面应力问题中三结点三角形单元的刚(劲)度矩阵，可写成如下分块矩阵的形式：,其中，,(1)k是66的方阵, k中元素 表示仅在单元结点s沿n方向产生单位位移时引起结点r沿l方向的结点力。,(2)由反力互等定理， 所以k是对称矩阵，以对角线为对称轴。,单元劲度矩阵k的性质：,(
16、3)当单元作刚体平移时，如 三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。,(4)由(3)可导出行列式 (即k为奇异矩阵 )。,(5)k的元素与 单元的形状和方位等有关，但与单元的大小和刚体的平动以及作 度转动无关。,即,k中每一行（或列）元素之和为0（其中第1、3、5元素之和(对应x向)或2、4、6元素之和(对应y向)也为0）。,例题,某等腰直角三角形单元ijm如图所示,已知在所选取的坐标系中,单元结点坐标分别为:,应用,可得,应用公式,可得该单元的应力转换矩阵为,可得该单元的应力转换矩阵为,应用教材式(6-37)及式(6-38)可得该单元的单元刚度矩阵为,现考察结点力与单元中的应力之间的关系。为了简单起见，假定只有结点i发生位移ui，如右图(a)所示。由上面的单元刚度矩阵得相应
