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1、高二数学期末复习之二数学归纳法及极限第一部分：复习目标：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（2）了解数列极限和函数极限的概念.（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限.（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.第二部分：内容小结1. 数学归纳法的应用：证恒等式；整除性的证明；探求平面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明.注意：（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2. 数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a, bn=b时， （anbn）=ab; （anbn
2、）=ab; =（b0）注意：（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；（2）可推广到有限多个.（3）求数列极限时，如是不定型（,等），应先变形，再求极限，一般应如何变形？熟练掌握如下几个常用极限：（1） C=C（C为常数）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.3. 函数极限的概念（略）. 函数极限的四则运算法则：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）g（x）=ab; f（x）g（x）=ab; =（b0）.注意：（1）上述法则对x的情况仍成立；（2）Cf（x）=Cf（x）（C为常数）；（3）f（x）n=f（x
3、）n（nN *）f（x）=Af（x）= f（x）=A,f（x）=Af（x）=f（x）=A.4. 函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；（2）f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）.如果f（x）是闭区间a,b上的连续函数，那么f（x）在闭区间a,b上有最大值和最小值.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）g（x）,f（x）g（x）,（g（x）0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数fu（x）在点x0处也连续.注意：（1）连续必有极限,有极限未必连续；（2）从运算的角度来分析,
4、连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的函数f（x）在点x0处连续反映到函数f（x）的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数f（x）在点x0处不连续（间断）大致有以下几种情况（如下图所示）.图甲表示的是f（x）在点x0处的左、右极限存在但不相等,即f（x）不存在.图乙表示的是f（x）在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于f（x）不存在的情况.图丙表示的是f（x）存在,但函数f（x）在点x0处没有定义.图丁表示的是f（x）存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f（x0）.函数f（x）在点x0处连续与f（x）在点x 0处有极限的联系与区别:其联系是:f（x）在点
5、x0处连续是依据f（x）在点x0处的极限来定义的,它要求f（x）存在.其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f（x）在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于f（x）的定义域,也可以不属于f（x）的定义域,即与f（x0）是否有意义无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0及其附近都有定义;其次,f（x）在点x0处的极限（值）与f（x）在点x0处的函数值f（x0）可以无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f（x0）.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.函数f（x）在点x0处
6、连续必须具备以下三个条件:函数f（x）在点x=x0处有定义;函数f（x）在点x=x0处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）.这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.第三部分：例题：【例1】 是否存在常数a、b、c使等式1（n212）+2（n222）+n（n2n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切nN*，a、b、c所确定的等式都成立.解：分别用n=1，2，3代入解方程组下面用数学归纳法证明.（1）当n=1时，由上可知等式成立;（
7、2）假设当n=k+1时，等式成立，则当n=k+1时，左边=1（k+1）212+2（k+1）222+k（k+1）2k2+（k+1）（k+1）2（k+1）2=1（k212）+2（k222）+k（k2k2）+1（2k+1）+2（2k+1）+k（2k+1）=k4+（）k2+（2k+1）+2（2k+1）+k（2k+1）=（k+1）4（k+1）2.当n=k+1时，等式成立.由（1）（2）得等式对一切的nN*均成立.评述：本题是探索性命题，它通过观察归纳猜想证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力.【例2】（2003年全国）设a0为常数，且an=3n12an
8、1（nN*）.证明：n1时，an=3n+（1）n12n+（1）n2na0.剖析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证.证明：（1）当n=1时，3+22a0=12a0，而a1=302a0=12a0.当n=1时，通项公式正确.（2）假设n=k（kN*）时正确，即ak=3k+（1）k12k+（1）k2ka0，那么ak+1=3k2ak=3k3k+（1）k2k+（1）k+12k+1a0=3k+（1）k2k+1+（1）k+12k+1a0=3k+1+（1）k2k+1+（1）k+12k+1a0.当n=k+1时，通项公式正确.由（1）（2）可知，对nN*，an=3n+（1）n12n+（1）n2na0.评
9、述：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.本题也可用构造数列的方法求an.解：a0为常数，a1=32a0.由an=3n12an1，得=+1，即=+.=（）.是公比为，首项为的等比数列.=（a0）（）n1.an=（a0）（2）n13+3n=3n+（1）n12n+（1）n2na0.注：本题关键是转化成an+1=can+d型【例3】 如下图，设P1，P2，P3，Pn，是曲线y=上的点列，Q1，Q2，Q3， ，Qn，是x轴正半轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，an，求证：a1+a2+an=n（n+1）.证明：（1）当n=1时，点P1是
10、直线y=x与曲线y=的交点，可求出P1（，）.a1=|OP1|=.而12=，命题成立.（2）假设n=k（kN*）时命题成立，即a1+a2+ak=k（k+1），则点Qk的坐标为（k（k+1），0），直线QkPk+1的方程为y=xk（k+1）.代入y=，解得Pk+1点的坐标为ak+1=|QkPk+1|=（k+1）=（k+1）.a1+a2+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.当n=k+1时，命题成立.由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立.评述：本题的关键是求出Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|QkP k+1|.【例4】 求下列极限：（1）;（2）
11、（n）;（3）（+）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）=.（2） （n）= =.（3）原式=（1+）=1.评述:对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： （n）= n=0;原式=n=不存在.对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误.【例5】 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlg
12、an1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比为c的等比数列，则an3n1.Sn（2） .当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例6】 已知直线l:xny=0（nN *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.解:设圆心M（1,1）到直线l的距离为d,则d2=.又r=1,|AB|2=4（1d2）=.设点C（x1,y1）, D（x2,y
13、2），由nx2（2n+1）x+n=0,x1+x2=, x1x2=1.（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=,（y1y2）2=（）2=,|CD|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（4n+1）（n2+1）.=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.【例7】 若数列an的首项为a1=1,且对任意nN*,an与an+1恰为方程x2bnx+cn=0的两根,其中0|c|1,当 （b1+b2+bn）3,求c的取值范围.解:首先,由题意对任意nN*,anan+1=cn恒成立.=c.又a1a2=a2=c.a1,a3,a5,a2n1,是首项为1,公比为c的
14、等比数列,a2,a4,a6,a2n,是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意nN*,an+an+1=bn恒成立.=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,b2n,是首项为2c,公比为c的等比数列, （b1+b2+b3+bn）= （b1+b3+b5+）+ （b2+b4+）=+3.解得c或c1.0|c|1,0c或1c0.故c的取值范围是（1,0）（0,.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将bn的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.【例8】求下列各极限：（1） （；（2）（x）；（3） ；（4） 剖析:若f （x）在x0处连续，则应有f （x）=f （x0）,故求f （x）在连续点x0处的极限时，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0处不连续，可通过变形，消去xx0因式，转化成可直接求f（x0）的式子.解
