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1、第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,1）弹塑性变形,以前我们所研究的问题是限制在材料始终保持在线性弹性范围内，外力、内力、应力、应变、变形与位移各量间不仅成线性关系，而且还单值对应。对某一构件或结构在一定外力作用下必产生确定的内力、应力、应变、变形与位移。这就是说，如果外力增大n倍，其对应的内力、应力、应变、变形与位移也增大n倍。这样，力作用的最终效果（例如产生的应变与变形等）只决定于力的最终值，而与力作用的先后次序无关。在对构件或结构进行强度计算时，采用极限应力法，即对塑性材料制成的构件或结构，当其危险点一点处相当应力达到材料的屈服强度 时，便认为整个构
2、件或结构已处于极限状态而不能继续承受更大的载荷。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,1）弹塑性变形,事实上，对塑性材料制成的应力非均匀分布的构件或静不定结构，例如图中所示的简支梁，当危险截面-上危险点A或B处应力等于材料的屈服强度 时，便出现塑性变形。但是，由于-截面上应力线性分布，整个截面除 A、B 两点外，其它各点应力并没有达到 ，仍处于弹形变性状态。此时，可继续增大载荷，梁上会有更多的点进入塑性变形状态，形成了塑性区域，梁进入了弹塑性变形状态。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,1）弹塑性变形,材料进入塑性状
3、态后，应力与应变之间不仅成非线性关系，而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值，而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。,以轴向拉压杆为例,先加 后加,先加 后加,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,2）极限载荷法,上述分析可知，对塑性材料制成的静不定结构或应力非均匀分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时，整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研究新的分析方法。,1）弹塑性变形,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,
4、2）极限载荷法,图中所示的一次静不定结构，各杆的横截面相同并均为理想弹塑性材料，a b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、杆3的内力分别为 ，可以分析得到，在外力一定时， 。,当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。,直到杆2也屈服，该结构才失去抵抗变形能力而成为几何可变“机构”,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念,2）极限载荷法,由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。,使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。,与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。,若以塑
5、性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 表示极限载荷，那么相应的强度条件应为,式中,n 为安全系数,采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方法，称为极限载荷法。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-2 应力-应变关系曲线的简化,1）理想弹塑性材料,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-2 应力-应变关系曲线的简化,1）理想弹塑性材料,2）理想刚塑性材料,为塑性应变,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-2 应力-应变关系曲线的简化,1）理想弹塑性材料,2）理想刚塑性材料,3）线性强化材料,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-2 应力-应变关系曲线的简化,
6、1）理想弹塑性材料,2）理想刚塑性材料,3）线性强化材料,4）幂函数强化材料,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-3 静不定桁架的极限载荷,由对14-1节中一次静不定桁架的分析可知，当其中一根杆（多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷，若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于n 次静不定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限状态。,n次静不定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次静不定桁架处于塑性极限状态时，已屈服的n+1根杆的内力成为已知（ ），这恰好提供了n+1个补充条件。这样，静不定
7、桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求得。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-3 静不定桁架的极限载荷,例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 的杆1、杆2、杆3组成，且， 。各杆的材料相同，其拉、压屈服强度均为 。试求该结构的极限载荷。,解：一次静不定结构，有两根杆屈服才进入塑性极限状态。故有三种可能的极限状态。,1）设杆1与杆2已屈服，杆3未屈服。此时，载荷 有使刚性梁绕E点转动的趋势。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-3 静不定桁架的极限载荷,例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 的杆1、杆2、杆3组成，且， 。各杆的
8、材料相同，其拉、压屈服强度均为 。试求该结构的极限载荷。,杆3的轴力超过其屈服值 ，故这种状态不可能出现。,2）设杆1与杆3已屈服，杆2未屈服。此时，载荷 有使刚性梁绕C点转动的趋势。,这种状态也不可能出现。,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-3 静不定桁架的极限载荷,例 图示的静不定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 的 的杆1、杆2、杆3组成，且， 。各杆的材料相同，其拉、压屈服强度均为 。试求该结构的极限载荷。,3）设杆2与杆3已屈服，杆1未屈服。此时，载荷 有使刚性梁绕B点转动的趋势。,这种状态能出现。故,极限载荷,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-4 圆轴的弹塑
9、性扭转 残余应力,假如材料是理想弹塑性，当圆轴的扭矩增加时，横截面上的切应力也在增大。当截面边缘处的最大切应力达到材料的屈服点时，边缘处各点首先进入屈服状态。此刻，截面上应力分布为,当扭矩继续增加，截面边缘处应力不再增大，而靠近边缘的各点应力在增大，塑性区域向内延伸，截面分成了塑性区 与弹性区 两个区域,1）极限扭矩,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力,完成积分，解得,由,圆轴弹塑性扭转变形公式,1）极限扭矩,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力,在式(14-9)中，显然d/dx 不应该为无穷大。因此，对于理想弹塑性材料
10、的圆轴，扭矩的上限，即极限扭矩应为,当截面扭矩 时， ，横截面上切应力均匀分布，均等于s,1）极限扭矩,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力,卸载时，横截面上各点切应力的减少正比于切应变的减少。根据几何方程，卸载后切应变的减少可写成,即卸载时横截面上各点切应力的减少量 与r成正比。若设截面上扭矩的减少量为DT,1）极限扭矩,2）残余应力,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力,如果卸载开始时横截面的扭矩为 ，完全卸载后扭矩为零，即 ，那么,这样，卸载后横截面各点切应力为,1）极限扭矩,2）残余应力,第14章 弹塑性变形与极限
11、载荷分析,14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力,由式(14-11)可见，虽然扭矩已完全卸掉，但横截面上仍然存在应力，称此应力为残余切应力。,1）极限扭矩,2）残余应力,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰,当弹性弯曲时，横截面上最大应力在离中性轴最远的点上。当最大应力达到屈服点时，该处材料开始屈服，相应的弯矩值为屈服弯矩,1）极限弯矩,弯矩继续增加，由于是理想弹塑性材料，已进入屈服状态的点的应力不再增大；而附近点的应力在增大并达到屈服点。这样，横截面出现了塑性区与弹性区，其应力分布如图,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰,当截面
12、上各点应力均达到时 ，梁进入塑性极限状态，此时的弯矩即为极限弯矩,1）极限弯矩,横截面上拉应力区面积,横截面上压应力区面积,因为横截面上没有轴力,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰,1）极限弯矩,拉应力区面积的静矩,压应力区面积的静矩,令,则,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰,1）极限弯矩,极限弯矩是屈服弯矩的 f 倍。,系数 f 与横截面形状有关，称为形状系数,矩形截面的形状系数为,第14章 弹塑性变形与极限载荷分析,14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰,1）极限弯矩,当最大弯矩截面的弯矩增加到极限弯矩值时，该截面上各点均进入屈服状态，其邻近截面也发生局部塑性变形（见图中阴影区）。这时，该截面处的微小梁段虽然仍可承受极限弯矩，但已如同铰链一样失去抵抗弯曲变形的能力。这种由于塑性变形而形成的“铰链”称为塑性铰。,2）塑性铰,对于一次静不定梁，出现一个塑性铰就变为静定梁，若再出现一个塑性铰，梁便变成了塑性机构。,
