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1、无穷是一个永恒的谜 Hilbert,无穷小与无穷大,第6节,北京理工大学数学系,一、无穷小,在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数称为无穷小量，简称无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,北京理工大学数学系,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,北京理工大学数学系,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,北京理工大学数学系,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1
2、在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,北京理工大学数学系,特殊情形：正无穷大，负无穷大,北京理工大学数学系,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,北京理工大学数学系,不是无穷大,无界，,北京理工大学数学系,证,北京理工大学数学系,北京理工大学数学系,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,北京理工大学数学系,
3、意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,北京理工大学数学系,小结,1、主要内容:,定义;定理;推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,北京理工大学数学系,四、曲线的渐近线,作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。,那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？,北京理工大学数学系,曲线的渐近线定义：,北京理工大学数学系,（）斜渐近线,北京理工大学数学系,又由,北京理工大学数学系,（）垂直渐近线,北京理工大学数学系,思考题,北京理工大学数学系,思考题解答,不能保证.,例,有,北京理工大学数学系,作业,P51: 2; 5; 7 P55: 1(奇); 2; 5; 6,
