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1、选修45不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0时等号成立()(2)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号
2、成立()(3)|axb|c(c0)的解等价于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1的解集是()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x1 Dx|1x3解析解法一：x1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.解法二：令f(x)则f(x)1的解集为x|0x2答案A3设|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比较大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为()A1 B C. D2解析()2(111)2 (121212)(abc)3.当且仅当abc时
3、，等号成立()23.故的最大值为.故应选C.答案C5若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(1)(2015山东卷)不等式|x1|x5
4、|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014湖南卷)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论解析(1)当x1时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)2，即2x62，解得x5时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选A.(2)|ax2|3，1ax0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为，故a3
5、.答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 对点训练已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xc或|xa|xb|k的解集为R，则实数k的取值范围是_解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即实数a的取
6、值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当kk恒成立，从图象中可以看出，只要k3即可故k3满足题意答案(1)(2)(，3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，则；(2)是|ab|cd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)
7、24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 对点训练(2014新课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法规律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件3在证明不等式时，应根据命题提供的
