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1、2.1.1 合情推理,第二章 2.1 合情推理与演绎推理,学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 推理,1.推理的概念与分类 (1)根据一个或几个 得出一个判断，这种思维方式就是推理. (2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ；一部分是由已知推出的判断，叫做 . (3)推理一般分为 与 . 2.合理推理 前提为真时，结论 的推理，叫做合情推理.常用的合情推理有 和 .,已知事实(或假设),前提,结论,合情推理,演绎推理,可能为真,归纳推理,类比
2、推理,知识点二 归纳推理,思考,(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电. (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体. 以上属于什么推理？,答案,答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征.,归纳推理 (1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从 到 的过程. (2)归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些 ； 从已知的 中推出一个明确表述的 命题(猜想).,梳理,所有对象,特殊,一般,相同性质,一般性,相同性质,知识点三 类比推理,思考,由三角形的性质：三角形的两边之和大于第三边
3、，三角形面积等于高与底乘积的 . 可推测出四面体具有如下性质： (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积， (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 该推理属于什么推理？,答案,答案 类比推理.,类比推理 (1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的性质的推理，叫做类比推理(简称类比). (2)类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的 或 ； 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 的命题(猜想).,梳理,类似(或相同),相似性,一致性,明确,题型探究,例1 (1)观察下列等式：,类型一 归纳推理,命题角度1 数、式中的归纳
4、推理,据此规律，第n个等式可为 _.,解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错， 故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为 ；,等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项， 故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为 .,答案,解析,答案,解析,又fn(x)fn1(fn1(x)，,引申探究 在本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x) (nN)的表达式.,解答,又fn(x)f(fn1(x)，,(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注
5、意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.,反思与感悟,答案,解析,答案,解析,例2 如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点的个数为 A.(n1)(n2) B.(n2)(n3) C.n2 D.n,命题角度
6、2 几何中的归纳推理,答案,解析,解析 由已知图形我们可以得到： 当n1时，顶点共有1234(个)， 当n2时，顶点共有2045(个)， 当n3时，顶点共有3056(个)， 当n4时，顶点共有4267(个)， ， 则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个， 故选B.,图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.,反思与感悟,答案,解析,跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是_.,5n1,解析 观察
7、图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列， 从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6(n1)55n1.,类型二 类比推理,解答,解 对平面凸四边形：,(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形的类比如下：,反思与感悟,跟踪训练3 (1)若数列an(nN)是等差数列，则有数列bn (nN)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn_ (nN)也是等比数列.,答案,解析,(2)如图
8、所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.,解答,解 如图所示，在四面体P-ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小. 我们猜想射影定理类比推理到三维空间， 其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .,当堂训练,1.有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色.两种彩旗排成一行： ， 那么在前200个彩旗中黄旗的个数为 A.111 B.89 C.133 D.67,答案,2,3,4,5,1,解析,
9、解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200922余2，则200个旗子中黄旗的个数为223167.故选D.,2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.,3.观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得到的一般结论是 A.n(n1)(n2)(3n2)n2 B.n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 C.n(n1)(n2)(3n
10、1)n2 D.n(n1)(n2)(3n1)(2n1)2,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 观察容易发现根据n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.,2,3,4,5,1,解析,答案,5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.,解答,2,3,4,5,1,于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.,证明如下：,2,3,4,5,1,规律与方法,1.用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明. 2.进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误. 3.多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性. (3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.,本课结束,
