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1、1.1.2 充分条件和必要条件,第1章 1.1 命题及其关系,1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,给出下列命题： (1)若xa2b2，则x2ab； (2)若ab0，则a0. 思考1 你能判断这两个命题的真假吗？,知识点一 充分条件与必要条件的概念,答案,(1)真命题，(2)假命题.,思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？,答案,命题(1)中只要满足条件xa2b2，必有结论x2ab； 命题(2)中满足条件ab0，不一定有结论a0，还可
2、能b0.,梳理,充分,必要,充分,必要,知识点二 充要条件的概念,只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.,思考1,命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？,答案,因为pq且qp，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.,思考2,若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？,答案,梳理 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作 .此时，我们说，p是q的 ，简称充要条件.,充分必要条件,pq,1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件 如果原命题为“若p则q
3、”，逆命题为“若q则p”,pq，但qp,qp，但p q,pq，qp，即pq,pq，qp,知识点三 常见的四种条件,2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 前提：设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q.,题型探究,例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件) (1)p：x1或x2，q：x1 ；,类型一 充要条件的判断,解答,因为x1或x2x1 ，,x1 x1或x2，,所以p是q的充要条件.,(2)p：m0，q：x2xm0有实根；,解答,因为m0方程x2xm0的判别式14m0，即方程有实根， 方程x2xm0有实根， 即14m0m0. 所以p是
4、q的充分不必要条件.,(3)p：ab，q：acbc.,解答,因为abacbc， acbcab， 所以p是q的既不充分又不必要条件.,充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：确定谁是条件，谁是结论. 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. 尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.,反思与感悟,(2)命题判断法： 如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件. 如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.,跟踪训练1 对任意实数a，b，c，给出下列命题： “
5、ab”是“acbc”的充要条件； “a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； “ab”是“|a|b|”的充分条件； “a5”是“a3”的必要条件. 其中为真命题的是 .,答案,解析,对于，abacbc，而acbc，当c0时，a与b不一定相等，故“ab”是“acbc”的充分不必要条件； 正确； 对于，当a1，b2时，ab，而此时|a|b|；正确.,例2 设p：实数x满足x24ax3a20，q：实数x满足x26x50，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.,解答,类型二 充分条件、必要条件的应用,设Ax|x24ax3a20 x|a0， Bx|x26x50x|1x5. p是q的充分不必要条
6、件， AB，,引申探究 若本例中条件改为：“若p是q的必要不充分条件”，结论又如何？,由例2知，Ax|a0， Bx|1x5. p是q的必要不充分条件，BA，,故不存在实数a，使p是q的必要不充分条件.,解答,(1)设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q，则pq可得AB；qp可得BA；若p是q的充分不必要条件，则AB. (2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.,反思与感悟,跟踪训练2 已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若M是N的充分条件，求a的取值范围.,解答,由(xa)21，得x22ax(a1)(a1)0， a1xa1. 又由x
7、25x240，得3x8. M是N的充分条件，MN，,故a的取值范围是2a7.,例3 求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明,类型三 充要条件的证明,充分性： ac0， 方程一定有两个不等实根. 设两实根为x1，x2，则x1x2 0，,即ac0. 综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,引申探究 求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.,必要性： 方程ax2bxc0有一个根为1， x1满足方程ax2bxc0， a12b1c0，即abc0，必要性成立. 充分性： abc0，cab，代入方程ax2bxc0
8、中，可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0， 故方程ax2bxc0有一个根为1，充分性成立. 因此，关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.,证明,(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么. (2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件结论是证充分性，由结论条件是证必要性.,反思与感悟,跟踪训练3 求不等式ax22x10恒成立的充要条件.,解答,当a0时，2x10不恒成立. 当a0时，ax22x10恒成立,所以不等式ax22x10恒成立的充要条件是a1.,当堂训练,1.设M1,2，Na2
9、，则“a1”是“NM”的 条件. (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”),充分不必要,当a1时，N1，此时NM；当NM时，a21或a22，解得a1或1或 或 .故“a1”是“NM”的充分不必要条件.,答案,解析,1,2,3,4,5,2.“函数yx22xa没有零点”的充要条件是 .,a1,答案,解析,函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点.,1,2,3,4,5,3.下列四个结论中，正确的有 . “x29”是“x3b2”是“ab的充分不必要条件”； 若a，bR，则“a2b20”是“a，b不
10、全为0”的充要条件.,对于结论，由x39.但是x29x3x327，不一定有x327，故正确； 对于结论，由a2b20a，b不全为0.反之，由a，b不全为0a2b20，故正确.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 .,1,由x21，得x1. 又“x21”是“x1”， 但由“x21”推不出“xa”， 所以a1，所以实数a的最大值为1.,答案,解析,1,2,3,4,5,5.是否存在实数p，使得x2x20的一个充分条件是4xp0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由.,由x2x20，解得x2或x2或x1.,解答,当p4时，“4xp0”的一个充分条件.,1,2,3,4,5,1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断. (2)等价法：“pq”表示p等价于q，要证pq，只需证它的逆否命题非q非p即可；同理要证pq，只需证非q非p即可.所以pq，只需非q非p. (3)利用集合间的包含关系进行判断. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.,规律与方法,本课结束,
