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1、2.3.2 双曲线的几何性质,第2章 2.3 双曲线,1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线 和离心率等. 2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 双曲线的几何性质,思考,答案,范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.,梳理,xa或xa,ya或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,A1(a,0)，A2(a,0),A1(0,a)，A2(0,a),思考1 如何求双曲线的渐近线方程？,知识点二 双曲线的离心率,答案,思考2 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线
2、的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？,答案,梳理,双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的 ，其取值范围是 .e越大，双曲线的张口 .,越大,(1，),离心率,1.双曲线的对称中心叫做双曲线的 . 2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做 双曲线，它的渐近线方程是 .,知识点三 双曲线的相关概念,中心,yx,等轴,题型探究,例1 求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.,类型一 已知双曲线的标准方程研究几何性质,解答,焦点坐标为F1(0,4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0,2)，A2(0,2)；,已知双曲线方程求其几何性质时
3、，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.,反思与感悟,跟踪训练1 求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.,因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；,解答,实轴长是2a6，虚轴长是2b4；,例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：,类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程,解答,b6，c10，a8.,当0时，a24，,解答,当0时，a29，,将点(2，2)代入双曲线方程，,(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程.,解答,反思与
4、感悟,(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程.,渐近线方程为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0).,解答,依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，,则c210k，b2c2a2k.,解答,解答,联立，无解.,联立，解得a28，b232.,A(2，3)在双曲线上，,类型三 求双曲线的离心率,解答,解答,即3b410a2b23a40，,依题意得直线l：bxayab0.,反思与感悟,跟踪训练3 已知F1，F2是双曲线 (a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴
5、的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率.,解答,设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程，得,由双曲线对称性，PF2QF2且PF2Q90，,c22aca20，,即e22e10，,类型四 直线与双曲线的位置关系,解答,设直线l的方程为y2xm.,又y12x1m，y22x2m， y1y22(x1x2). AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2,设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，,由(*)式得24m2240，,引申探究 若某直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3,1)为中点的直线l的方程.,解答,设相交的两点为A(x1，y1)，B(
6、x2，y2).,，可得,P为AB的中点，且P的坐标为(3,1)，,将其代入式，得2(x1x2)(y1y2)0，,故直线l的方程为y12(x3)，即y2x5. 经检验知y2x5符合题意.,反思与感悟,(1)求弦长的两种方法 距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.,特别提醒 若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况. (2)中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决.另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.,跟踪训练4 设双曲线C： y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B. (
7、1)求双曲线C的离心率e的取值范围；,解答,得(1a2)x22a2x2a20， ,解答,设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为P为直线与y轴的交点，所以P(0,1).,由于x1，x2是方程的两根，且1a20，,当堂训练,1,2,3,4,5,1.双曲线的一个顶点坐标为(1,0)，一条渐近线方程为y2x，则双 曲线方程为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,4,方程表示双曲线，,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程 (a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程.,规律与方法,2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.,本课结束,
