土体极限分析理论（complete）

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1、1,土体极限分析理论 高等土力学,2018年12月9日,乔世范 中南大学土木建筑学院,2,主 要 内 容,概论 滑移线场理论 极限分析法,3,第1章 概 论,土力学问题：稳定问题与弹性问题,弹性问题：研究未破坏土体的应力或变形,稳定问题：土压力、承载力及边坡稳定,渐进性破坏问题： 由弹性与塑流极限状态的过渡状态,4,屈服区的扩展,5,应力和应变的基本方程,固体力学问题解法中各种变量的相互关系,6,应力和应变的基本方程,运动方程与平衡方程：,几何方程与连续方程：,本构方程,对于静力问题： 或,边界条件和初始条件：,应力：,位移：,7,基本概念,定义,屈服：弹性进入塑性 屈服条件：屈服满足的应力或

2、应变条件 屈服面：屈服条件的几何曲面,8,基本概念,初始屈服函数的表达式,均质各向同性，不考虑应力主轴旋转时,或,略去时间与温度的影响，并考虑应力与应变的一一对应关系，则有,9,基本概念,屈服曲线与屈服面,10,基本概念,理想塑性： 屈服面内F(ij)0：不可能,11,基本概念,塑性力学中的破坏：某单元体进入无限塑性（流动）状态,破坏条件,真正破坏：整个物体不能承载 某单元进入流动状态不等于物体破坏；破坏不是针对一个单元的 塑性力学某单元处于流动状态，并非某单元破坏，如理想塑性状态。破坏面上各点应变都超过极限应变，物体才真正破坏。,12,（1）形式： 、： 1, 3:,莫尔库仑条件：,莫尔库仑

3、屈服条件,岩土材料的破坏条件,13,德鲁克塑性公设,1928年，米赛斯提出塑性位势函数梯度方向是塑性流动方向，并以屈服函数作为势函数。此后引用德鲁克公设加以证明。,稳定材料的定义,稳定材料,不稳定材料,附加应力对附加应变作功为非负,（非必要条件）,14,德鲁克塑性公设,两个重要不等式：,屈服面的外凸性,塑性应变增量的正交性,两个重要结论： （1）屈服面的外凸性 （2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）,15,滑移线法,滑移线就是破裂面的迹线，滑移线法就是按照滑移线理论和边界条件，在岩土受力体中构造相应的滑移线网，然后利用移线的性质和边界条件，求出塑性区的应力与位移速度场的分布，

4、最后求出极限荷载。,16,滑移线法评论,由滑移线方程得到的一种部分应力场不一定是正确解，也不能确知它是一个上限解还是下限解。如果通过一个给定的应力应变关系能把一个相容的位移场或速度场与部分应力场联系起来，则滑移线解便是一个上限解。同时，如果塑性的部分应力分布可以扩延整个物体，且满足平衡方程、屈服准则和应力边界条件，则滑移线解又是一个下限解，因而也是正确解。,17,极限平衡法,由所谓极限平衡法，就是传统上一直用来近似求解土力学稳定问题的方法。运用时，通常要给出各种简单形状的假想破坏面，如平面、柱面或对数螺旋面等。根据这一假设，每个稳定问题就可简化为:从选定的破坏面形状中寻找最危险的破坏面（或滑动

5、面)的位置， 运用这一方法时，还需要假设破坏面的应力分布，据此才能以合力的形式列出所给问题的总体平衡方程。因此，这一简化方法使得可以用简单的静力学求解各种问题。,18,极限分析法,下限定理 仅仅由满足条件（a）平衡方程;（b）应力边界条件；（c）处处都不违背屈服条件的应力分布所确定的荷载，不会大于实际破坏荷载。满足（a）、（b）和（c）项条件的应力分布，叫做所论问题的静力许可应力场。,上限定理 在一个假设的，且满足（a）速度边界条件及（b）应变与速度相容条件的变形模式（或速度场）中，由外功率等于所消耗的内功率而得到的荷载，不会小于实际破坏荷载。,19,第2章 平面应变问题极限荷载的滑移线场解,

6、基本假设,应力场的滑移线解及其性质,极限荷载应满足的条件,速度滑移线解及其性质,应力间断与速度间断,滑移线场的应用,20,基本假设,材料为理想刚塑性或弹塑性材料。可以证明，只有 理想塑性材料才有唯一的极限荷载。 小变形。因为在证明极限荷载的唯一性或推求极限 荷载时，需要利用虚功原理，而虚功原理只有在小 变形条件下才能成立。 屈服面必须处处外凸，而且材料必须符合相关联流 动法则。否则，不能保证Drucker公设成立，亦不 可能存在唯一的极限荷载。,21,极限荷载应满足的条件,材料为理想刚塑性或弹塑性材料。可以证明，只有 理想塑性材料才有唯一的极限荷载。 小变形。因为在证明极限荷载的唯一性或推求极

7、限 荷载时，需要利用虚功原理，而虚功原理只有在小 变形条件下才能成立。 屈服面必须处处外凸，而且材料必须符合相关联流 动法则。否则，不能保证Drucker公设成立，亦不 可能存在唯一的极限荷载。,22,极限荷载应满足的条件,本构方程。在弹性区域，应力和应变满足弹性本构 系;在塑性区域，应力和应变增量或应变率应当满足 增量塑性本构关系，或者在整个塑性区，外力所做 的塑性功率不为负。 屈服条件。在弹性或刚性区，应力不违背屈服条件。 在塑性区中应力满足屈服条件,23,应力场的滑移线解基本方程式,基本坐标系与滑移线方程,沿线： =- 沿线： =+,(1),线： 线：,(2),24,应力场的滑移线解基本

8、方程式,平衡方程,(3),屈服条件,(4),式中：P，R分别为平均应力和应力圆半径，c=ccot为粘聚力。,C-M屈服条件,T-M屈服条件(=/2),(5),(6),25,应力场的滑移线解基本方程式,极限平衡方程,(7),将式（4）代入式（3）,26,极限平衡微分方程组的一般解法,极限平衡方程组的特征线族,(8),式(7)为双曲线型的一阶拟线性偏微分方程组。与其相伴随的是两族实的特征线族，其方程为:,对比式(2)与式(8)可知:数学上的特征线就是塑性力学中的滑移线，特征线解亦即滑移线解。,27,极限平衡微分方程组的一般解法,沿滑移线的方向导数,取沿及滑移线的曲线坐标如图所示。沿滑移线S 与S

9、方向导数为：,（9）,28,极限平衡微分方程组的一般解法,沿滑移线的方向导数,由式（8）可得：,（9）,29,极限平衡微分方程组的一般解法,沿滑移线的极限平衡微分方程,由式（9）代入式（7）并利用式（6）可得：,（10）,由于p, 分别沿和线积分，因此有：,30,极限平衡微分方程组的一般解法,沿滑移线的差分方程解法,将,等关系,式代入式（10）得：,（11）,这就是有重的型岩土材料沿及族滑移线的平均应力p和与Y轴夹角的差分方程。利用差分法，就可以求解有重岩土各种边值问题的滑移线场分布和极限荷载。,特殊情况下的滑移线解,有重的纯粘土,故式（11）简化为：,（12）,令： 有重土计算点的平均应力，

10、则可得：,（13）,特殊情况下的滑移线解,无重的-c型材料（=0）,由式（11）可得：,（15）,直接积分可得,（16a）,（16b）,特殊情况下的滑移线解,无重的C型材料（=0,=0,c0）,由式（12）可得：,（17）,直接积分可得,（18）,应力边界条件,（19）,（20）,应力边界条件,两种应力边界条件,应力滑移线的性质,滑移线上的剪应力等于抗剪强度，故滑移线就是破裂 线的迹线。,两族滑移线的夹角与屈服准则有关。,对-c型岩土材料来说，粘聚力的存在不影响两族滑 移线的形状和夹角，对所有岩土材料，重力的存在 不影响两族滑移线间的夹角，但对其形状有影响。,沿一条滑移线上的积分常数相同,沿一

11、条线上平均应力的变化与角的变化呈比例变化,（21）,应力滑移线的性质,若滑移线上某一段为直线，则在该线段上的p， 以 及各应力分量均为常量。,若已知滑移线网分布，则只要知道两条不同族滑移 线中一个交点的平均应力，就可以求出该应力区中各 点的P值。,应力滑移线的性质,如果由一条滑移线1（或1 ）转到另一条滑移线2（或2 ） ，则沿任何一条（或 ）族的滑移线，线(或线)的方向与x轴的夹角的变化值保待常量。,应力滑移线的性质,证明：由式（16）,所以,应力滑移线的性质,如果族(或族)滑移线的某一曲线段(例如AB)是直线， 则族(或族)滑移线所截的所有线(或线)的相应曲线 段均为直线。,两种简单的应力

12、场,均匀应力场,简单应力场,果没有应力间断线存在，两个均匀应力场之间必然夹着一个简单应力场或扇形场。,速度场基本方程,速度场基本方程,速度场基本方程,(11.9.5),速度场基本方程,速度场基本方程,速度场基本方程,速度场基本方程,直线滑移线上的塑性应变率为零，或位移速度不变,应力间断线,应力间断线：一个薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件。现分析位于间断线上一微单元的应力状况。,如图所示应力间断线l-l把应力场分成I区和II区。间断线法线N与x轴夹角记为。在间断线上取一单元，其应力状态，I区部分应力分量为n1

13、、 l1和 l1，II区部分应力分量为 n2、 l2和 l2，它们应满足平衡条件和屈服条件。显然，两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即,(11.10.1),(11.10.2),应力间断线,间断线两侧的应力状态都应满足Mohr-Coulomb屈服条件。,(11.10.3),(11.10.4),将上式代入式11.10.1和式11.10.2，可得：,(11.10.5),(11.10.6）,由上两式可得：,(11.10.7）,即：,(11.10.8）,应力间断线,对于Tresca材料，0，CK，由式11.10.5，式11.10.6和式11.10.8得：,将式11.10.11

14、可得：,由式11.10.9和式11.10.10可得平均应力p1和p2的关系式应为：,应力间断线不可能同时是滑移线，当滑移线通过应力间断线时，滑移线发生弯折。,应力间断线的速度问题,间断线上速度是连续的。两个塑性区的应力间断线可以认为是它们之间存在的弹性区域的极限位置，应力间断线可以用一薄层的弹性层代替。因为在弹性层内，不允许出现裂缝或体积膨胀，所以应力间断线两侧的法向速度分量肯定是连续的。 应力间断线两侧的切向速度分量认也是连续的。在这个弹性层内，对某一元索，法向应力和剪应力几差不多是常数，而切向应力沿薄层厚度方向发生很迅速的变化。对于刚塑性体，弹性阶段变形为零，因此，应力间断线必须视作不可伸

15、长的。应力间断线既然是不可伸长的，因而也就不允许间断线两侧的切向速度分量发生间断。,速度间断线,速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。可以证明，速度间断线或者是滑移线，或者是滑移线的包络线,（11.10.15）,由式11.9.7可得：,可以认为从一个速度区越过间断线进人另一个速度区时，质点速度改变与间断线成角。对Tresca材料=0。因此，速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。对Coulomb材料， 0 ，间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，但物体仍保持连续，不产生裂缝，因为材料体积应变率

16、不等于零。即材料体积将发生变化。,刚性区与塑性区的交界线一定是速度间断线，也一定是滑移线。,钝角楔体单边压力作用时的极限荷载,ODC区的应力状态可表示为：,（11.11.1）,OC线为线， 值和已知， ，OB线上 。 由忽略自重作用，应力滑移线方程 可得：,钝角楔体单边压力作用时的极限荷载,钝角楔体单边压力作用时的极限荷载,极限荷载qf的表达式很容易从右图中得到，其表达式为:,（11.11.5）,57,第3章 极限分析法,概述,上限定理极限分析法的应用,极限荷载的上下限定理,下限定理极限分析法的应用,极限平衡法、滑移线场法 和极限分析法的讨论,概述,第二章中我们已经知道:理想塑性材料存在着唯一的极限荷载;