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1、第六章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.,一. 定义和计算,定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量满足关系式 A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.,如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有,可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值0=0的特征向量.,A=0=0,一般地, 由A=0 可得,(0E A)=
2、0,可见, 是n元齐次线性方程组,(0E A)x=0,的非零解. 所以有|0E A|=0.,定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式,称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特征方程.,A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.,A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组,(E A)x=0,的所有非零解.,的特征值和特征向量.,解 A的特征多项式为,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值为1=2=1,3=3.,对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于,例1 求矩阵,所以k1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量.,对3=3,
3、解方程(3E-A)x=0, 由于,得同解方程:, 基础解系为2=(-1, 1, 1)T.,所以k2(k0)是属于3=3的全部特征向量., 基础解系为1=(0,0,1)T.,得同解方程:,的特征值和特征向量.,解 A的特征多项式为,=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3),所以A的特征值为1=2=1, 3=3.,对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于,例2 求矩阵,所以属于1=2=1的全部特征向量为 K11+k22 (k1,k2 不同时为0),对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于,得同解方程:, 基础解系为3=(1, -1, 1)T.,所以k3(k0)是属于3=3的全部特征向
4、量.,基础解系1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.,得同解方程:,设方阵A可逆,且是A的特征值,证明1/是A-1的特征值.,例3,证 首先证明0. 用反证法: 假设=0是A的特征值, 则,再设是A对应特征值的特征向量 , 则 A=,所以1/是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量.,类似地, 若是A的特征值, 则k是Ak的特征值.,0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故0.,一般地, 若是A的特征值,则()=a0+a1+amm是(A)=a0E+a1A+amAm的特征值.,A-1=-1,二. 特征值和特征向量的性质,由于,=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|
5、A|,利用多项式方程根与系数的关系可得:,定理6.1 设1,2,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则,1+2+n=a11+a22+ann,12n=detA,定理6.2 设1,2,s是方阵A的互异特征值,1, 2, s是分别属于它们的特征向量, 那么1,2,s线性无关.,证明 设 x11+x22+xss=0, 则,类似地有:,A(x11+x22+xss)=0,即 1x11+2x22+sxss=0,1kx11+2kx22+skxss=0 (k=0,1,s-1),即,所以有,(x11, x22, xss)=(0, 0, , 0),定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1,2,s和1,2,t分
6、别是属于1,2的线性无关的特征向量, 则1,2,s, 1, 2,t线性无关.,即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,s),所以向量组1, 2,s线性无关.,证明 设k11+k22+kss+l11+l22+ltt=0,若=k11+k22+kss 0, =l11+l22+ltt0,则由+=0, 而,分别是属于1,2的特征向量, 矛盾.,所以=0, 即k1=k2=ks=l1=l2=lt=0, 线性无关.,例4,解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2,于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是,设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|.,A*+
7、3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A),(A)的3个特征值为:(1)=-1,(-1)=-3,(2)=3, 于是,|A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9,2 相 似 矩 阵,定义6.3 设A ,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P, 使,一. 相似矩阵的定义和性质,矩阵的相似关系具有下述性质:,() 反身性: AA;,() 对称性: 若AB, 则BA;,() 传递性: 若AB, BC, 则AC.,P-1AP=B,则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似.,P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B的相似变换矩阵.,A与B相似记作AB.,定理6.4 相
8、似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相同的特征值.,证 若矩阵A与B相似,则存在矩阵P,使P-1AP=B,故,注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵,E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P,=P-1E - AP=E -A,的特征多项式都是(-1)2, 但它们不相似.,二. 与对角矩阵相似的条件,假设n阶方阵A与对角矩阵,相似.,也就是存在可逆矩阵P, 使得,P-1AP=,即,AP=P,记P=(1, 2, n), 则有,(A1,A2,An)=(11,22,nn),即,可见,矩阵A与对角矩阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量.,Ai=ii , i=1,2,n,因为
9、矩阵P可逆, 所以1,2,n线性无关,故i0,于是i是矩阵A属于特征值i的特征向量.,反之,设A有n个线性无关的特征向量1,2, n,且,Ai=ii, i=1,2,n, 令P=(1,2,n),则P可逆, 且,AP=(A1,A2,An)=(11, 22,nn)=P,即, P-1AP=,也就是说矩阵A与对角矩阵相似.,定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.,可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵的求法.,例如例1中的矩阵,没有3个线性无关的特征向量, 故A不与对角矩阵相似.,而例2中的矩阵,由于其3个特征值为1=2=
10、1, 3=3. 对应的特征向量:,1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以,取相似变换矩阵P=(1, 2, 3)=,可求得P的逆矩阵为,与A相似的对角矩阵为,推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值,则A与对角矩阵相似.,若A= P-1BP, 则有:,注意, 若矩阵A与对角矩阵相似, 则的对角线元素恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与A相似的对角矩阵是唯一的.,Ak=P-1k P, (A)=P-1()P,而且有:,例5 设,求 A50.,解 矩阵A的特征多项式为,=(+1)2(-2),可见, A的特征值是1=2=-1, 3=2.,
11、对于特征值1=2=-1, 由于,所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:,1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T.,1, 2就是属于特征值1=2=-1的线性无关的特征向量.,可见属于特征值3=2的一个特征向量为3=(3, 3, 1)T.,对于特征值3=2, 由于,令,则有,所以有,即,定理6.6 设0是n阶矩阵A的k重特征值, 则属于0的线性无关的特征向量的个数不大于k.,令P=(1, 2, n), 则P可逆, 而且有,证明 设1,2,t是属于0的线性无关的特征向量.,则存在向量t+1, t+2,n使 1, 2, n 线性无关.,AP=(01, 02, 0t,
12、At+1, At+2, An),由于1, 2, n线性无关, 所以At+1, At+2, An都能由1, 2, n线性表示, 所以可以令,AP=(01, 02, 0t, At+1, At+2, An),即矩阵A与B相似.,所以, A与B有相同的特征多项式, 即,因此, 0的重数kt.,|E-A|=|E-B|,推论 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是, 对A的任意特征值0(重数为k), 属于0的线性无关的特征向量必有k个.也就是R(0E-A)=n-k.,3 实对称矩阵的相似对角化,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质,设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记,A=(aij
13、 ),称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A.,共轭矩阵具有下列性质:,其中是常数;,定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数.,证 设为实对称矩阵A的特征值, 是属于的特征向量, 则有,由于AT=A,A=A, 故有,于是有,由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.,显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.,定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.,证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是属于它们的特征向量, 则有,而且,由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.,于是,二. 实对称矩阵的相似对角化,定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正
14、交矩阵Q, 使得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵.,证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立.,于是有,再取2, 3, n 使 1, 2, n为Rn的一组规范正交基.,取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1, (取1为单位向量).,A(1, 2, n )=(11, A2, An),=(1, 2, n ),记Q1=(1, 2, n) , 则Q1为正交矩阵, 且有,B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得,取n阶正交矩阵,Q1-1AQ1=,则有,即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵.,只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立.,推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k.,三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法,用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下:,(1) 求出A的全部特征值;,(2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无关的特征向量.,(5) 写出对角矩阵.,(3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化.,(4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵.,例6 设,求一个正交矩阵
