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1、线性波理论1.1 波浪的流体动力基本方程及边界条件实际海水河水均为有黏性流体，且水表面存在表面张力，所以流浪运动实际呈黏性流，但黏性及表面张力的影响大小，与波浪的频率有关。在船舶和海洋工程中，船舶摇摆和拍击，船舶稳定，兴波阻力；海岸工程中，波浪对港口、防波堤的作用；离岸工程中，钻井平台，海工建筑，海底油管等。水波起制约作用的物理因素是重力，粘性力可忽略不计。因此可以用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。如下图所示，一间谐前进波沿x轴正向移动。h（水深从平均水平面到底部的距离）（x，t）自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离H波高，对于小振幅波，H=2aT周期波速C=L/T,波数k=2/L，圆频
2、率=2/T（2时间内的波动次数）对于线性波理论，必须遵循以下3个假设：（1）理想不可压缩流体，重力不能忽略；（2）运动是无旋的，具有速度势；（3）波浪是线性波（微振幅波），即水深H远远小于波长L。且满足Laplace方程，=2x+2x=0（0z，-x+）底部条件（不可穿透条件）vz=z=0（z=-h）自由表面边界条件=-1gtz=（由Lagrange积分t+12v2+p+gz=0，令z=，自由表面上相对压力p=0，为使边界条件线性化，假定速度的平方趋向于0，而得到）。在z=0处满足（自由边界条件的近似）=-1gtz=0综合整理上述公式，可得线性波（小振幅波）的基本方程与边界条件 2x+2x=0
3、0z，-x+z=0z=-h=-1gtz=01.2 线性波理论上述波浪速度势的求解存在两个困难：（1）自由表面的非线性；（2）这些条件仅在自由表面z=上满足，是未知量，因此只能近似求解。假定波浪振幅足够小，即波高H远远小于波长L，可得到上述方程的线性解，故称为线性波理论。由分离变量法求解，令=f（z）sin（kx-t）将其带入拉普拉斯方程可得d2fdz2sin（kx-t）-k2fsin（kx-t）=0即d2fdz2 -k2f=0根据线性其次方程解得方程的通解为f(z)=Aekz+Be-kz所以=（Aekz+Be-kz）sin（kx-t）z=k（Ae-kz-Bekz）sin（kx-t）zz=-h=
4、 k（Ae-kh-Bekh）sin（kx-t）=0（不可穿透，即海底沿z轴方向上的波速为零）由方程的性质可知，必须Ae-kh-Bekh=0恒成立，上式才能成立，所以Ae-kh=Bekh令D/2=Ae-kh=Bekh，则A= Dekh/2，B=De-kh/2所以=DAek（z+h）+Be-k（z+h）sinkx-t/2或=Dcoshk（z+h）sinkx-t/2=-1gtz=0=-1gDcoshk（z+h）-sinkx-tz=0波面方程为=Dg coshkhcoskx-t令Dg coshkh=a（a为波幅）即D=agcoshkh，则=agcoshkh coshk（z+h）sinkx-t所以自由面
5、形状（波面方程）为=a coskx-t当h趋向于无穷大时，该式=agcoshkh coshk（z+h）sinkx-t可化为=agekzsinkx-t，此公式适用于无限水深的情况波速，波长，周期自由表面（x，t）上任意一点的z方向速度分量vz=ddt，即波面抬高速度近似等于z方向上的速度分量将上式与vz=z联立z=t=t-1gt=-1g2t2由式=agcoshkh coshk（z+h）sinkx-t对t求二阶导后再乘以-1g，与此同时，再对上式的z求一阶导，上述两次求导得到的结果需满足z=-1g2t2最终求得2=gktanhkh，又C=L/T=2k2=k，所以=kc，将=kc带入式子2=gktanhkh，求得波速C=gL2tanh2hL（该波速公式适用于各种水深）由上式，在已知L，h的前提下，可求得C；在已知T，h的前提下，可求得L下面将水波按照水深进行分类由于双曲函数有渐进值，所以按双曲函数的性质将水波进行分类，其目的是为了工程应用方便，所谓的深水波、浅水波是一种相对概念。波的类型水深htanh2hL近似值近似公式深水波L/2h1C=gL2中等水深波L/20hL/2tanh2hLC=gL2tanh2hL浅水波0hL/202hLC=gh通过上述表格可以得出以下结论，深水波：波速只是波长的函数，与水深无关。浅水波：波速是水深的函数，与波长无关。中等深水波：波速是波长与水深的函数。
