习题一 1. 写出下列随机试验的样本空间. (1)记录一个班级每位同学考试的分数(百分制); (2)一次同时掷出两枚骰子, 记录其点数之和; (3)某人生产的产品有正品和次品, 现要求生产 10 件正品即停止生产, 记录其生产产 品的件数; (4)导弹瞄准飞机进行射击, 导弹击中飞机后就不再瞄准, 记录其瞄准的次数; (5)向区间],[ba任取一点, 记录其坐标; (6)以1cm,2cm 为三角形的两边, 记录第三边的长度. (7)在单位圆内任取一点, 记录其坐标. 解答(1)}100,, 2 , 1 , 0{ 1 S; (2)}12,, 3 , 2{ 2 S; (3)},12,11,10{ 3 S; (4)}, 3 , 2 , 1{ 4 S; (5)],[ 5 baS ; (6))3, 1 ( 6 S; (7)}1| ),{( 22 7 yxyxS. 2. 上题的随机试验中, 写出下列随机事件的集合表达式. (1)事件“分数不低于90分”; (2)事件“点数之和少于7”; (3)事件“产品件数不超过11件”; (4)事件“瞄准次数不超过两次”; (5)事件“坐标大于区间端点坐标之和的算术平均值”; (6)事件“第三边长度不超过另两边的算术平均”; (7)事件“点离圆心的距离小于 0.1cm”. 解答 (1)}100,,92,91,90{ 1 A; (2)} 7 , , 3 , 2{ 2 A; (3)}11,10{ 3 A; (4)}2, 1{ 4 A; (5)], 2 ( 5 b ba A ; (6)]2, 1 ( 6 S; (7)}01 . 0 | ),{( 22 7 yxyxS. 3. 设A,B,C为三个随机事件, 以A,B,C的关系与运算表示下列事件. (1)A,C发生, 但B不发生; (2)A发生, 但B,C都不发生; (3)A,B,C至少发生一个; (4)A,B,C全发生; (5)A,B,C至少发生一个的逆事件; (6)A,B,C至少发生两个. 解答(1)BACBCA; (2))(CBACBA; (3)CBA; (4)ABC; (5)ABCABC; (6))()()()(CABCBABCAABC. 4.产品中有正品和次品, 依次取两件产品, 记A为第一次取到正品的事件,B为第二 次取到正品的事件, 以A,B的关系与运算表示下列事件. (1)至少取到一件正品; (2)取到两件次品; (3)第一次取到次品; (4)没取到次品. 解答(1)BA; (2)BABA; (3)A; (4)AB. 5.指出下列命题是否成立, 并作图说明. (1)ABAAB; (2)若ABA , 则BA ; (3)BABA; (4)若BA , 则AB ; (5)ABCABC; (6)若AB , 且AC , 则BC . 解答 (1) 成立; (2) 成立; (3) 不一定成立; (4) 成立; (5) 不一定成立; (6) 成立. 6.从班级中任选一人, 设A为事件“选到男同学”,B为事件“选到运动员”,C为 事件“选到的同学喜欢唱歌”. (1)表述事件ABC和事件CAB; (2)表述在什么条件下,BABC 成立; (3)表述AC 的意义. 解答 (1)ABC为事件“选到喜欢唱歌的男运动员”; CAB为事件“选到不喜欢唱歌的男运动员”; (2)BABC 成立的充要条件为运动员全是男同学且运动员都喜欢唱歌; (3)AC 成立的充要条件为不喜欢唱歌的同学全是男同学. 7.袋中有 3 只红球,4 只白球, 从袋中依次取三次球, (1)在有放回取球情形, 问依次取出的球的颜色是白红红的概率; (2)在有放回取球情形, 问至少取到两次红球的概率; (3)在不放回取球情形, 问恰好取到两次红球的概率; (4)在不放回取球情形, 问至少取到两次红球的概率. 解答 (1) 343 36 777 334 ; (2) 3 3 34 3 33 4 33 3 4135 7 7 7343 ; (3) 35 12 3 7 1 4 2 3 ;(4) 35 13 3 7 0 4 3 3 1 4 2 3 . 8 .桥牌游戏中, 指定的一家手中有13张牌, 问他手中恰好有5张黑桃,3张红桃,2张方 块,3张草花的概率. 解答 13 52 3 13 2 13 3 13 5 13 9. 掷骰子游戏中, 一次掷两只骰子, 求两只骰子点数相同的概率. 解答 6 1 66 6 . 10. 彩票37选7中, 若买的7个号码中, 中了指定的7个正选号码, 则获得一等奖, 若 中了指定的7个正选号码中的6个, 并中了另一个备选号码, 则获得二等奖, 若中了指定的 7个正选号码中的6个, 但没中另一个备选号码, 则获得三等奖. 某人购买了一注彩票, 依 次求他中一等奖, 二等奖, 三等奖的概率. 解答中一等奖的概率为 8 1 7 7 9.713 10 37 7 p ; 中二等奖的概率为 7 2 71 61 6.799 10 37 7 p ; 中三等奖的概率为 5 3 7378 61 1.9717 10 37 7 p . 11. 区间) 1 , 0(中随机取出两个数YX,, (1)求两数之和小于5 . 0的概率; (2)求两数之积大于5 . 0的概率. (3)求一元二次方程02 2 YXtt没有实根的概率; (4) 求两数之差绝对值小于5 . 0的概率. 解答(1)两数之和小于 0.5 的概率为 2 2 11 1 22 = 1 8 （ ） ; (2)两数之积大于 0.5 的概率 1 0.5 2 0.5 1 ln2 1 2 dx x ; (3)一元二次方程02 2 YXtt没有实根的概率为 1 2 0 2 (1) 2 1 3 xdx . (4)两数之差绝对值小于5 . 0的概率 22 2 11 12 3 22 = 1 4 （ ） . 12. 某码头只能停靠一艘轮船装卸货物, 已知某天00:1800:8将有甲, 乙两艘轮船 独立到来停靠, 它们停靠时间分别为3小时,2小时, 求两艘轮船都不需要等待的概率. 解答,X Y分别为轮船到达时间, 两艘轮船都不需要等待的事件为 {3}{2}XYYX, 概率为565 . 0 1010 7 2 1 8 2 1 22 . 13.在时间间隔[0, ]T内任意时刻都有信号等可能的进入收音机.现有两个信号，如果这 两个信号到达的时间间隔不大于，则收音机受到干扰, 试求收音机受到干扰的概率. 解答,X Y分别为信号到达时间, 两信号都不干扰的事件为 {}XY 概率为 22 2 22 1 2() () 2 =1 TT T TT . 14. (1) 已 知 1 )(pAP, 2 )(pBP, 3 )(pBAP, 求)(ABP,()P AB, ()P AB，()P BA； (2) 已知( )0.6P A ,P()0.3AB, 求()P AB. (3) 已 知( )0.6P A ,( )0.3P B ,()0.2P AB , 求()P AB,(|)P A B, (|)P A B； (4) 已知 1 ( )( )( ) 4 P AP BP C, 1 ()() 16 P ABP BC,()0P CA , 求事件A, B,C全不发生的概率; (5) 设, ,A B C是随机事件,A与C互不相容, 11 (),( ), 23 P ABP C则(|)P AB C. 解答 （1） 123 ()( )( )()P ABP AP BP ABppp; 3 ()()1()1P ABP ABP ABp ; 32 ()()( )()P ABP AABP AP ABpp， 31 ()( )()P BAP BP ABpp； （2）()1()1 [ ( )()]0.7P ABP ABP AP AB . (3)()0.7P AB, 2 (|) 3 P A B , ()()3 (|) ( )1( )7 P ABP AB P A B P BP B ; (4)()()1()P ABCP ABCP ABC 1 [ ( )( )( )()()()()]3/8P AP BP CP ABP BCP CAP ABC ; (5) ()()() (|) ( )1( ) P ABCP ABP ABC P AB C P CP C 3/4. 15. 一男孩来自有两个孩子的家庭，问另一个孩子是他姐妹的概率是多大？ 解答 至少一男孩为 A, 至少一女孩为 B, () (|)2/3 ( ) P AB P B A P A . 16. 袋中有a只红球,b只白球, 现甲乙丙三人不放回地依次从袋中取出一只, 求他们 全都取到红球的概率. 解法 1 i A为第i人取红球事件, 则 123121312 (= ((|(|P A A AP AP A AP A A A）））） 12 = 12 aaa ab abab . 解法 2用产品抽样概型 33 aab 12 = 12 aaa ab abab . 17. 获得某职业技能证书需在依次进行的3次考试中至少通过2次.某人第一次考试通过 的概率为p，如果他前一次考试通过，下一次考试通过的概率为p，如果他前一次考试不 通过，下一次考试通过的概率 3 p . 试问他获得证书的概率多大？ 解答 i A为第i次通过事件, 则 1212312312123123 ()= ()()()P A AA A AA A AP A AP A A AP A A A 121121312121312 = ((|((|(|((|(|P A P A AP A P AA P A A AP A P AA P AA A)))))))) 2 (1)(1)(52 ) 333 ppp p pppppp。
18. 设甲袋中有 1 n只红球, 2 n只黑球, 乙袋中有 1 m只红球, 2 m只黑球, 现从甲袋中取 出一球不看颜色就放入乙袋中, 再从乙袋中取出一球, 求从乙袋中取出红球的概率. 解答 设A为甲袋中取红球，B为甲袋中取红球， 则 ( )( ) (|)( ) (|)P BP A P B AP A P B A 11211 1121 121212121212 1 11()(1) nmnmm nm nn nn mmnn mmnnmm . 19. 甲乙两人约定在上午9时和10时之间到某站乘公共汽车, 假定到达车站的时刻相 互独立, 且在9时和10时之间到车站时刻的概率是等同的. 在这段时间内有4班车, 发车时 刻分别是00:10,45:9,30:9,15:9, 如果他们约定 (1)。