《2017-2018年高一数学新人教a版必修1教学设计：2.1.1 指数与指数幂的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高一数学新人教a版必修1教学设计：2.1.1 指数与指数幂的运算（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计2.1.1指数与指数幂的运算教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺
2、垫本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力2掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想通过运算训练
3、，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理3能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力4通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美重点难点教学重点(1)分数指数幂和根式概念的理解(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值教学难点(1)分数指数幂及根式概念的理解(2)有理指数幂性质的灵活应用课时安排3课时第1课时导入新课思路1同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，
4、又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的教师板书本节课题：指数函数指数与指数幂的运算思路2同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数指数与指数幂的运算推进新课(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4a，x5a，x6a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的
5、时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维讨论结果：(1)若x2a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为2，负数没有平方根，同理，若x3a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：8的立方根为2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根(3)类比(2)得到一
6、个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根(4)用一个式子表达是，若xna，则x叫a的n次方根教师板书n次方根的意义：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n1且nN*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).4的平方根；8的立方根；16的4次方根；32的5次方根；32的5次方根；0的7次方根；a6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，8，16，32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)
7、问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路讨论结果：(1)因为2的平方等于4，2的立方等于8，2的4次方等于16,2的5次方等于32，2的5次方等于32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，8的立
8、方根，16的4次方根，32的5次方根，32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是2，2，2,2，2,0，a2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7特点是有奇数和偶数总的来看，这些数包括正数，负数和零(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用表示，正的n次方根与负的
9、n次方根合并写成(a0)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零上面的文字语言可用下面的式子表示：a为正数：a为负数：零的n次方根为零，记为0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题解：答案不唯一，比如，
10、64的立方根是4,16的四次方根为2，27的5次方根为，而27的4次方根不存在等其中也表示方根，它类似于的形式，现在我们给式子一个名称根式根式的概念：式子叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数如中，3叫根指数，27叫被开方数思考表示an的n次方根，式子a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论教师点拨，注意归纳整理如3，|8|8解答：根据n次方根的意义，可得：()na.通过探究得到：n为奇数，a.n为偶数，|a|因此我们得到n次方根的运算性质：()na.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数n为奇数，a.先奇次乘方
11、，再开方(同次)，结果为被开方数n为偶数，|a|先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值思路1例 求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)(ab)活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数解：(1)8；(2)10；(3)3；(
12、4)ab(ab)点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用变式训练求出下列各式的值：(1)；(2)(a1)；(3).解：(1)2，(2)(a1)3a3，(3)点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.思路2例1 下列各式中正确的是()AaBCa01D活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答解析：(1)a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数
13、时，应先写|a|，故A项错(2)，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为，故B项错(3)a01是有条件的，即a0，故C项也错(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确所以答案选D.答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心例2 _.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的
14、平方公式与差的平方公式化为完全平方式正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路解析：因为1，1，所以2.答案：2点评：不难看出与形式上有些特点，即是对称根式，是形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“”，一个是“”，去掉一层根号后，相加正好抵消同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法另解：利用整体思想，x，两边平方，得x232322()()62628，所以x2.点评：对双重二次根式，特别是形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解变式训练若a1，求a的取值范围解：因为a1，而|a1|a1，即a10，所以a1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.(教师用多媒体显示在屏幕上)1以下说法正确的是()A正数的n次方根是一个正数B负数的n次方根是一个负数C0的n次方根是零Da的n次方根用表示(以上n1且nN*)答案：C2化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).答案：(1)2；
